广东省韶关市乳源县高级中学2022年高三数学理模拟试题含解析

广东省韶关市乳源县高级中学2022年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线（）与函数，的图象分别交于、两点，当最小时，值是（  ） A.         B.         C.        D. 参考答案： B 2. 已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则（　　　） （A）   　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ） 参考答案： A 3. ．设函数，对于任意不相等的实数，代数式的值等于（    ） A．                               B． C．、中较小的数                  D．、中较大的数 参考答案： D 4. 在等差数列中，，其前n项和为的值等于 A. B. C. D. 参考答案： C 5. （5分）若点（4，a）在y=的图象上，则tanπ的值为（　　） 　 A． 0 B． C． 1 D． 参考答案： 考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 把点（4，a）代入y=中，求出a的值，再计算tanπ的值． 解答： ∵点（4，a）在y=的图象上， ∴=a， 解得a=2； ∴tanπ=tan=． 故选：D． 点评： 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数求值的问题，是基础题． 6. 已知函数，若，，，则的大小关系是 A.           B.           C.          D. 参考答案： B 略 7. 设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（　　） 　 A． B． ﹣4 C． D． 4 参考答案： A 略 8. 设集合，，，则 等于 A．            B．            C．     D． 参考答案： B 略 9. 设，则下列不等式中正确的是                          A．                            B．        C．             D． 参考答案： B 本题考查了不等式的性质、均值不等式，考查了学生灵活运用知识解题的能力。   解法1：利用均值不等式与作差法比较。   解法2：特例法，令，则B满足。 10. 设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是                     （   ）   A. 若            B. 若   C. 若         D. 若 参考答案： D 因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量=（    ）        A．0                            B．                     C．4                            D．8 参考答案： B 略 12. 已知，且，则        。 参考答案： 13. 已知函数在内是减函数，则实数的范围是   ▲   ． 参考答案： ?≤ω＜0  略 14. 已知是定义在上的奇函数，当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.       参考答案： 略 15. 函数的图象和函数且的图象关于直线对称，且函数，则函数的图象必过定点___________． 参考答案： (1,－4) 因为恒过定点，所以过定点，所以过定点，填．   16. 以下命题：①若，则∥；②=（－1，1）在=（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5,b =8,c =7，则·=20；④若非零向量、满足，则．其中所有真命题的标号是              。 参考答案： ①②④ 由，所以，即或，所以∥，所以①正确。在方向上的投影为，所以②正确。，即。所以，所以③错误。由得，，即，若，则有，即，显然成立，所以④正确。综上真命题的标号为①②④。 17. 如图，阴影部分区域Γ是由线段AC，线段CB及半圆所围成的图形（含边界），其中边界点的坐标为A（1，1），B（3，3），C（1，3）当动点P（X，Y）在区域Γ上运动时，的取值范围是　　． 参考答案： [，3] 考点： 简单线性规划的应用．. 专题： 数形结合． 分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围． 解答： 解：平面区域如下图示，表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率， 当（x，y）=C（1，3）时取最大值3， 又半圆的圆心为（2，2），半径为， 设过原点且与半圆相切的切线方程为y=kx， 则圆心到切线的距离d==，解得k=2﹣， ∴最小值2﹣， 故的取值范围是[，3]． 故答案为：[，3]． 点评： 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. [极坐标与参数方程选讲] 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），圆C的极坐标方程为=1， （I）求直线与圆C的公共点的个数； （II）在平面直角坐标中，圆C经过伸缩变换得到曲线，设M（为曲线 上一点，求4的最大值，并求相应点M的坐标. 参考答案： （Ⅰ）直线的方程为  圆的方程是 圆心到直线的距离为，等于圆半径， ∴直线与圆的公共点个数为；              …………………………………5分 （Ⅱ）圆的参数方程方程是 ∴曲线的参数方程是 ∴ 当或时，取得最大值 此时的坐标为或      ………………………………10分 19. 已知函数    （I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；    （II）求函数的单调区间； 参考答案： 解：（I）函数，         又曲线处的切线与直线垂直，    所以    即a=1.  （II）由于 当时，对于在定义域上恒成立， 即上是增函数. 当 当单调递增； 当单调递减.   略 20. （本小题满分10分）    已知集合     （1）若求实数m的值；     （2）设集合为R，若，求实数m的取值范围。 参考答案： （1）         ，，              （2）                            略 21. （12分）（2015?陕西校级二模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1，其中a为实数， （1）若a=1，求函数f（x）的最小值； （2）若方程f（x）=0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围； （3）设ak，bk（k=1，2…，n）均为正数，且a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn， 求证：＜1． 参考答案： 【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： （1）求出f'（x）=ex﹣1，由f'（x）=0得x=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值； （2）先求出f'（x）=ex﹣a（0＜x≤2），再讨论①当a≤1时，②当a≥e2时，③当1＜a＜e2时的情况，从而求出a的范围； （3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，ex＞x+1，得bklnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得从而问题得证． 解：（1）f'（x）=ex﹣1，由f'（x）=0得x=0 当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）内递增； 当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）内递减； 故函数f（x）在x=0处取得最小值f（1）=0． （2）f'（x）=ex﹣a（0＜x≤2） ①当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]内递增； f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解； ②当a≥e2时，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]内递减； f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解； ③当1＜a＜e2时，由f'（x）=0，得x=lna， 当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）递减； 当lna＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增； 又f（0）=0，f（2）=e2﹣2a﹣1 由f（2）=e2﹣2a﹣1≥0得 故a的取值范围为 （3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，ex＞x+1，即ln（x+1）＜x． ∵ak，bk＞0，从而有lnak＜ak﹣1， 得bklnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n）， 求和得 即， 故． 【点评】： 本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明，求参数的范围，是一道综合题． 22. 已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可； （Ⅲ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣， 则f（1）=，f'（1）=﹣1， 所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0． （Ⅱ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣． 令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣， ①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0， 所以f）x）在（0，+∞）上是减函数． ②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0， 所以f（x）在（0，+∞）上是减函数． ③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2． （i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线， 对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，+∞）上是减函数． （ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线， 对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点： ，列表如下： x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ f（x） 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）； 当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，． （Ⅲ）证明：根据（Ⅱ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2）， 则x1，x2是方程g（x）=0的两个根， 从而． 由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a． 又a﹣2＞0，所以0