天津圣功中学高三数学理测试题含解析

天津圣功中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某程序框图如图所示，现输入四个函数(1)f(x)＝x2，(2)f(x)＝，(3)f(x)＝ln x＋2x－6，(4)f(x)＝sin x，则输出函数是             A．(1)        B．(2)     C．(3)       D．(4) 参考答案： D 由题意知此程序框图输出的函数应是存在零点的奇函数，因而应选(4). 2. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），过点F作圆x2+y2=的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（　　） A． B．C．D．2 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵，则，∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点， 则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF， ∴PF′⊥PF，∵PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a， 在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，即9a2+a2=4c2． 所以离心率e=． 故选：A． 【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题 3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是   A．    B．   C．－ D．0 参考答案： B 略 4. 已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： C 试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤ 所以0≤sinx＜－cosx≤ 于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立. 取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0 cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0 所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立 故选C 考点：三角函数的性质，充要条件 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： C 6. 已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是(     ) A．[，） B．（0，） C．（，1） D．（，1） 参考答案： A 【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，知（3a﹣1）x+4a递减，logax递减，且（3a﹣1）×1+4a≥loga1，从而得，解出即可． 【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数， 所以有，解得， 故选A． 【点评】本题考查函数单调性的性质，属中档题． 7. 阅读下边程序，若输入x为987654，则输出a的值为（　　） 　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 参考答案： C 略 8. （2015春?黑龙江期末）化简的结果是（　　） 　 A． ﹣cos1 B． cos 1 C． cos 1 D． 参考答案： C 考点： 二倍角的余弦． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可化简求值． 解答： 解：． 故选：C． 点评： 本题主要考查了二倍角公式，同角间三角公式的综合应用，属于基本知识的考查． 9. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　） A． B． C． D．1 参考答案： C 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值． 【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0）， 显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，设y0＞0， 则=+=+=+（﹣） =+=（+，）， 可得kOM==≤=， 当且仅当y02=2p2，取得等号． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题． 10. 执行如图所示的程序框图，则输出结果的值为   （A）     （B）   （C）    （D） 参考答案： C【知识点】算法与程序框图L1 由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值， ∵跳出循环的n值为2015，∴输出S==cos+cos+…+cos， ∵cos+cos+cos+cos++ = cos+cos+cos-cos- cos-cos=0 ∴S=cos+cosπ=- 【思路点拨】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正项等比数列{}的前n项和为Sn，且，则S10= ______ 参考答案： 1023 12. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是　    　cm． 参考答案： 4 【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题． 【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4． 故答案为：4 13. 设向量，，且，，则的最大值是          ；最小值是          ． 参考答案： 9,1 14. 等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为　   　． 参考答案： 16 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线y=x和抛物线的交点，即可得到所求面积． 【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点， 另外两个点在抛物线y2=4x上， 由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称， 可设直线y=x，代入抛物线y2=4x，可得 x2=4x，解得x=0或x=4， 可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，﹣4）， 则这个等腰直角三角形的面积为?（）2=16． 故答案为：16． 15. 若二次函数在区间内至少存在一点使得则实数的取值范围是_______________. 参考答案： 16. 在长方形中，，为的中点，若，则的长为         参考答案： 2 17. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为        ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cosα=﹣． （1）求cos∠CAD； （2）求BC边上高的值． 参考答案： 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题；解三角形． 分析： （1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα，根据∠CAD=α﹣45°，即可求cos∠CAD； （2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）sinαcos45°﹣sin45°cosα=，再由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解． 解答： 解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1，∴cos2α=， ∵α∈（0°，45°），∴cosα=， ∴， ∵∠CAD=α﹣45°，∴=． （2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）=sinαcos45°﹣sin45°cosα=， 在△ACD中，由正弦定理得：， ∴AD===5， ∴高h=ADsin∠ADB==4． 点评： 本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式． 19. 已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0） （1）求椭圆C的方程； （2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可； （2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可． 【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2， ∴c2+（0﹣）2=，解得c=，…（2分） ∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3， ∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1， ∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2 由a2=b2+c2得，b=，…（4分） ∴椭圆C的方程是；… （2）由（1）得点A的坐标（，1）， ∵（λ≠0），∴直线l的斜率为kOA=，…（6分） 则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由得，， ∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2， 且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，…（8分） ∴|MN|=|x2﹣x1|= ==， ∵点A到直线l的距离d==， ∴△AMN的面积S== =≤=，…（10分） 当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．…（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题． 20. （l2分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB= 60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB= CD= CF． （1）求证：BD⊥平面AED； （2）求二面角F—BD—C的正切值． 参考答案： 因此， 故为二面角F—BD—C的平面角.                    ………………9分 在中，，可得 因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2.       ……12分 21. （12分）（2010?广陵区校级模拟）已知y=f（x）=xlnx． （1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程； （2）设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值． （3）证明对一切x