2022-2023学年安徽省安庆市桐城石河高级中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年安徽省安庆市桐城石河高级中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的横坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离． 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E． ∵|PA|=|AB|， ∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2， ∴x1=， ∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标． 2. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足，，则△ADP的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】9V：向量在几何中的应用． 【分析】以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B，C的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△APD的面积公式即可得出． 【解答】解：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系． ∵等边三角形△的边长为4， ∴B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2）， 由足= [（﹣2，﹣2）+（2，﹣2）]=（0，﹣）， =（0，﹣）+（4，0）=（，﹣）， ∴△ADP的面积为S=||?||=××=， 故选：A． 3. 函数y＝的定义域为(　　) A．(－4，－1)                      B．(－4,1) C．(－1,1)                         D．(－1,1 参考答案： C 4. 已知，则的值为 (    ) A．          B．         C．         D． 参考答案： A 略 5. 若函数=在上是减函数，则的取值范围为 A．[4,+∞)　   B．[4,5)　  　C. [4,8)　 　   D．[8,+∞) 参考答案： B 6. 先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是（   ）                      参考答案： C 7. 等比数列{an}中，a1=1，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）…（x﹣an），若y=f（x）的导函数为y=f'（x），则f'（0）=（　　） A．1 B．28 C．212 D．215 参考答案： B 【考点】63：导数的运算． 【分析】设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）…（x﹣a8），对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a8 ，由此求得f'（0）的值． 【解答】解：设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）…（x﹣a8）， ∴f（x）=xg（x）， ∴f'（x）=g（x）+xg′（x）， ∴f'（0）=g（0）+0×g′（x）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）（﹣a3）…（﹣a8）=（a1a8）4=28 故选B 8. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(     ) A． B．   C．24 D．48 参考答案： C 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题． 分析：先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积． 解答：解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10， ∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则， 由双曲线的性质知，解得x=6． ∴|PF1|=8，|PF2|=6， ∴∠F1PF2=90°， ∴△PF1F2的面积=． 故选C． 点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． 9. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于（    ） A．[－1，3）    B．（0，2]         C．（1，2]          D．（2，3） 参考答案： B 略 10. 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20等于(     ) A．50 B．25 C．75 D．100 参考答案： A 考点：等比数列的性质． 专题：计算题；等差数列与等比数列． 分析：直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案． 解答： 解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5， ∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5， ∴a10a11=e5， ∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50． 故选：A． 点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题： ①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量； ②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量； ③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是_______________．   参考答案： ②③ ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由于 成立，故 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；（3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为，故 、 中的中的每个元素都是极大向量时，中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故答案为②③.   12. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有        种不同结果（用数值作答）. 参考答案： 45. 13. 若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a         ． 参考答案： 14. 某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的，则实数a的值为_______． 参考答案： 7 【分析】 按流程图逐个计算后可得关于的方程，解出即可. 【详解】执行第一次循环时，有，；执行第二次循环时，有，；执行第三次循环时，有，，执行第四次循环时，有，输出. 所以，故.填. 【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算，计算时关注各变量的变化情况，并结合判断条件决定输出何种计算结果. 15. 已知命题p：“?x∈R＋，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________________”；q的真假为________．(填“真”或“假”) 参考答案： 16. 直线被圆所截得的弦长等于       ． 参考答案：   2 略 17. 平面向量与的夹角为60°，||=1， =（3，0），|2+|=      　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由条件可以得到，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值． 【解答】解：根据条件，，； ∴； ∴． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若，求直线与所成的角.       参考答案： （1）由向量的加减运算法则知：                                                                                …………4分 （2）由题意                                              …………7分             …………10分 即与所成的角为                                         …………12分 19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过an+1=2Sn+1与an=2Sn﹣1+1（n≥2）作差、整理可知数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列，进而计算可得结论； （2）通过an=3n﹣1可知=，利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵an+1=2Sn+1（n∈N*）， ∴an=2Sn﹣1+1（n≥2）， 两式相减得：an+1=3an（n≥2）， 由an+1=2Sn+1得：a2=2a1+1=3， ∴a2=3a1满足上式， ∴数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列， ∴an=3n﹣1； （2）∵an=3n﹣1， ∴=， ∴Tn=++…++， ∴Tn=++…++， 两式相减得： Tn=3+2（++…+）﹣=4﹣， ∴Tn=6﹣． 20. 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c，且满足（2b－c）cosA－acosC＝0．    （Ⅰ）求角A的大小；   （Ⅱ）若a＝，△ABC的面积S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由． 参考答案： 略 21. 选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）求不等式的解集M； （2）若，，证明：. 参考答案： 解：（1） 由得， ∴ （2）∵，，∴，， ∴，， ∴，， ∴， ，∴. 22. （本小题满分14分） 已知函数 当时，求的单调区间； 若不是单调函数，求实数的取值范围. 参考答案： （1）（2） 【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 【试题解析】函数定义域为， ; （1）当时，，令   ， 则 ，由，得， 则时，；时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 即， 所以在上是增函数， 即的增区间为． （2）由（1）知，  ①当时，， 故，于是， 则在上是增函数，故不合题意； ②当时，令   ， ，由，得， 于是时，；时，， 即所以在上是减函数，在上是增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 设其为，则时，，即； 时，，即， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以不是单调函数，故符合题意． 所以实数的取值范围是．