辽宁省阜新市第二十一高级中学高一数学理期末试题含解析

辽宁省阜新市第二十一高级中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）+f（x）＞0恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．af（a）＞bf（b） B．af（b）＞bf（a） C．af（a）＜bf（b） D．af（b）＜bf（a） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】构造g（x）=xf（x），利用其单调性即可得出． 【解答】解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x）＞0， ∴函数g（x）在R上单调递增． ∵a＞b， ∴g（a）＞g（b），∴af（a）＞bf（b）． 故选A． 【点评】正确构造g（x）=xf（x）和熟练掌握利用导数研究和的单调性是解题的关键． 2. 已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，x∈（﹣∞，+∞）的最小正周期为π，且f（0）=，则函数y=f（x）在[﹣，]上的最小值是（　　） A． B． C．﹣3 D． 参考答案： C 【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的定义域和值域． 【分析】由题意可根据周期求出ω，根据求出A，从而得到符合条件的函数解析式，再根据x的范围确定函数的最小值即可． 【解答】解：由题意可得=π， ∴ω=2， 又， ∴， ∴A=2． 由， 由， 得． 故选C． 3. 设f(x)=x3+log2(x+),若a,b?R,且 f(a)+f(b)≥0,则一定有(  ) (A)a+b≤0 (B)a+b<0 (C)a+b≥0 (D)a+b>0 参考答案： C 4. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．   　　B． C．         　　D． 参考答案： D 略 5. 9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为 A．－1　　　 B．0        C．1       　   D．3 参考答案： B 略 6. 已知集合，，则M∩N=（　　） A. {3,4} B. {2,3,4,5} C. {2,3,4} D. {3,4,5} 参考答案： A 【分析】 首先求得集合，根据交集定义求得结果. 【详解】    本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 7. 2011年3月11日，日本发生了9级大地震并引发了核泄漏。某商场有四类食品，粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是                        （    ） Ａ．　           Ｂ．　           Ｃ．　          Ｄ．7 参考答案： C 略 8. 下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（　　） A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．y=﹣ D．y=x|x| 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】根据奇函数图象的特点，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的定义，二次函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找到正确选项． 【解答】解：A．根据y=x+1的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误； B．x增大时，﹣x3减小，即y减小，∴y=﹣x3为减函数，∴该选项错误； C.在定义域上没有单调性，∴该选项错误； D．y=x|x|为奇函数，； y=x2在[0，+∞）上单调递增，y=﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，且y=x2与y=﹣x2在x=0处都为0； ∴y=x|x|在定义域R上是增函数，即该选项正确． 故选：D． 9. 某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画与之间关系的是（      ） A.     B. C.    D.  参考答案： D 10. 若向量，，则向量的坐标是 A.        B.       C．         D.     参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C=　　． 参考答案： 120° 【考点】HP：正弦定理． 【分析】直接利用正弦定理化简，结合sinA≠0，可得：tanB=，可求B，进而利用三角形内角和定理即可计算得解． 【解答】解：在△ABC中，bsinA﹣acosB=0， 由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB， ∵sinA≠0． ∴sinB=cosB，可得：tanB=， ∴B=60°，则A+C=180°﹣B=120°． 故答案为：120°． 12. 若与共线，则＝        . 参考答案： -6 13. 定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=　   　． 参考答案： {（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可． 【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}， b={1，2，3}， 所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}， b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}； 所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}． 故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}． 14. 函数的定义域为　　． 参考答案： {x|x≤2且x≠1} 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【解答】解：根据题意，要使得函数有意义， 要满足，故可知答案为{x|x≤2且x≠1}． 故答案为：{x|x≤2且x≠1} 【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解决的关键是根据分母不为零，偶次根式下为非负数，属于基础题． 15. 已知，则的减区间是            参考答案： 16. 设向量表示“向东走6”，表示“向北走6”，则＝＿＿＿＿＿＿； 参考答案：         17. 下列说法中，正确的是                                       (  ) （A）数据5，4，4，3，5，2的众数是4 （B）一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 （C）数据2,3, 4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半 （D）频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 参考答案： C 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）对于定义域为A的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在A内具有单调性；②存在区间[a，b]?A，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；则称f（x）为闭函数． （Ⅰ）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]； （Ⅱ）判断函数f（x）=是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若函数f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围． 参考答案： 考点： 函数单调性的性质；进行简单的合情推理． 专题： 计算题；新定义；函数的性质及应用． 分析： （Ⅰ）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，由新定义，得到方程，解得a，b即可得到所求区间； （Ⅱ）函数不是闭函数．可通过取特殊值检验即可判断； （Ⅲ）由新定义即有a，b为方程的两个实根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣3=0（x≥﹣3，x≥k）有两个不等的实根．对k讨论，当k≤﹣3时，当k＞﹣3时，运用二次函数的图象和性质得到不等式组解得即可． 解答： （Ⅰ）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减， 则解得， 所以，所求的区间为[﹣1，1]； （Ⅱ）函数不是闭函数． 理由如下：取x1=2，x2=4，则， 即f（x）不是（0，+∞）上的减函数． 取，则， f（x）不是（0，+∞）上的增函数， 所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数； （Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上， 函数y的值域也为[a，b]，即， 即有a，b为方程的两个实根， 即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣3=0（x≥﹣3，x≥k）有两个不等的实根． 设g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣3 当k≤﹣3时，有，解得． 当k＞﹣3时，有，无解 综上所述，． 点评： 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题． 19. 已知全集U={x|x﹣2≥0或x≤1}，A={x|x2﹣4x+3＞0}，B=（﹣∞，1]∪（2，+∞），求A∩B及?U（A∪B）． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】函数思想；综合法；集合． 【分析】先求出全集U=（﹣∞，1]∪[2，+∞），A=（﹣∞，1）∪（3，+∞），然后进行交集、并集，以及补集的运算即可． 【解答】解：U={x|x﹣2≥0或x≤1}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），A={x|x2﹣4x+3＞0}=（﹣∞，1）∪（3，+∞），B=（﹣∞，1]∪（2，+∞）； ∴A∩B=（﹣∞，1）∪（3，+∞），A∪B=（﹣∞，1]∪（2，+∞），?U（A∪B）={2}． 【点评】考查描述法、列举法表示集合，以及区间表示集合，集合的交集、并集，及补集的运算． 20. (本小题满分12分)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米. （1）分别写出用表示和用表示的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 参考答案： （Ⅰ）S  … 6分 21. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过两点，． （1）求圆C的方程； （2）若点P在圆C上，求点P到直线的距离的最小值． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）设圆心在轴上的方程是，代入两点求圆的方程；（2）利用数形结合可得最短距离是圆心到直线的距离-半径. 【详解】解：（1）由于圆C的圆心在x轴上，故可设圆心为，半径为， 又过点，， 故解得 故圆C的方程． （2）由于圆C的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 又点P在圆C上，故点P到直线的距离的最小值为． 【点睛】本题考查了圆的方程以及圆有关的最值问题，属于简单题型，当直线和圆相离时，圆上的点到直线的最短距离是圆心到直线的距离-半径，最长的距离是圆心到直线的距离+半径. 22. 已知f（x）=﹣sin（2x+）+2，求： （1）f（x）的最小正周期及对称轴方程； （2）f（x）的单调递增区间； （3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．