山西省忻州市南新中学高一数学理下学期期末试卷含解析

山西省忻州市南新中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 实数满足条件，则的最大值是（  ）   A.              B.            C.          D. 参考答案： C 2. 在中，若，则的值为 A、　　　       B、　       　C、　　         　D、 参考答案： B 3. 已知，，那么的值是（      ） A.      B.           C.           D.  参考答案： A 因为，，所以，则. 故答案为A.   4. 设原命题：若，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（    ）     A．原命题真，逆命题假                   B．原命题假，逆命题真         C．原命题与逆命题均为真命题             D．原命题与逆命题均为假命题 参考答案： A  解析： 因为原命题若，则 中至少有一个不小于的逆否命题为，若都小于，则显然为真，所以原命题为真；原命题若，则 中至少有一个不小于的逆命题为，若 中至少有一个不小于，则，是假命题，反例为 5. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，且B=，则+=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】所求式子利用同角三角函数间的基本关系变形，通分后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用正弦定理化简，求出sinAsinC的值，代入计算即可得到结果． 【解答】解：∵a，b，c成等比数列， ∴b2=ac， 利用正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC， ∵B=， ∴原式=+=====． 故选：C． 【点评】此题考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 6. 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表：   x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 …   则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（  ） A．         B． C.          D． 参考答案： B 故选：B   7. （3分）已知函数f（x）=且f（x）=4，则x的值（） A． B． C． D． 2 参考答案： B 考点： 函数的值． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由题意讨论f（x）=4在分段函数的x＞0的部分，从而解得． 解答： ∵当x≤0时，2x+1≤1； 故x2﹣2=4； 故x=； 故选B． 点评： 本题考查了分段函数的应用，属于基础题． 8. 已知有且仅有两个零点，那么实数a=（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 有两个零点， 有两个非零根， 设， 则有两个非零零点， ， 由选项可知，， 在上递增，在上递减， 有两个非零零点，得，故选D.   9. 圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 参考答案： A 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆． 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，大于半径之和，可得两个圆关系． 【解答】解：由于 圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，即 （x+1）2+（y+4）2=25，表示以C1（﹣1，﹣4）为圆心， 半径等于5的圆． 圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8=0，即 （x﹣2）2+（y+2）2=16，表示以C2（2，﹣2）为圆心，半径等于4的圆． 由于两圆的圆心距等于=，大于半径之差，小于半径和，故两个圆相交． 故选：A． 【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题． 10. （3分）二次函数y=ax2+bx与指数函数在同一坐标系中的图象可能是（） A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 指数函数的图像与性质；二次函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 解答： 根据指数函数的解析式为，可得 ＞0，∴﹣＜0， 故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣ 位于y轴的左侧，故排除B、D． 对于选项C，由二次函数的图象可得 a＜0，且函数的零点﹣＜﹣1，∴＞1， 则指数函数应该单调递增，故C 不正确． 综上可得，应选A， 故选A． 点评： 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在三角形ABC中，如果         . 参考答案： 2 12. 设无穷数列  的各项都是正数,  是它的前  项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于  与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 _______. 参考答案： 解析：由题意知 ， 即 .          ……… ① 由  得 , 从而 . 又由 ① 式得       ,            ……… ② 于是有          , 整理得 . 因 , 故 ． 所以数列  是以  为首项、 为公差的等差数列，其通项公式为 ， 即 . 故N*)． 13. 已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为　    　． 参考答案： 【考点】MK：点、线、面间的距离计算． 【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离． 【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高， 沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°， ∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1， 以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）， A（0，0，）， =（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0）， 设平面ABC的法向量=（x，y，z）， 则，取x=，得=（，，1）， ∴点M到平面ABC的距离为： d===． 故答案为：． 14. 定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）=f（），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0；若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为　　． 参考答案： R＞P＞Q 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】令x=y，可求得f（0）=0，令x=0，可得f（﹣y）=﹣f（y），判断出f（x）为奇函数，当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0 可得当x∈（0，1）时，有f（x）＜0．令x=，y=，则f（）﹣f（）=f（），求出f（）+f（），从而可将进行比较． 【解答】解：∵定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）=f（）， ∴令x=y，则f（x）﹣f（x）=f（0），即f（0）=0， 令x=0，则f（0）﹣f（y）=f（﹣y），即f（﹣y）=﹣f（y）， ∴f（x）在（﹣1，1）是奇函数， ∵当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0， ∴当x∈（0，1）时，有f（x）＜0． 令x=，y=，则f（）﹣f（）=f（）=f（）， ∴f（）+f（）=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）=f（）﹣f（）， ∴P﹣Q=﹣f（）＞0，P＞Q， ∵P，Q＜0， ∴R＞P＞Q． 故答案为：R＞P＞Q． 15. 长方体中,异面直线所成的角等于       . 参考答案： 90° 16. 在数列中，，，则等于              参考答案： 38 17. f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=sin2x+cosx,则x<0时,f(x)= _____________. 参考答案： sin2x-cosx 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=lg（mx﹣2x）（0＜m＜1）． （1）当m=时，求f（x）的定义域． （2）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）将m=代入得到f（x）的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到f（x）的定义域； （2）将f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，等价为f（x）＞0在（﹣∞，﹣1]上恒成立，转化为f（x）min＞0，利用f（x）的单调性即可求出f（x）的最小值，从而列出不等式，求解即可得到m的取值范围． 【解答】解：（1）当m=时，f（x）=lg[（）x﹣2x]， ∴（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x， ∴﹣x＞x，即x＜0， ∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}； （2）设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1， ∴x2﹣x1＞0， 令g（x）=mx﹣2x， ∴g（x2）﹣g（x1）=mx2﹣2x2﹣mx1+2x1=mx2﹣mx1+2x1﹣2x2， ∵0＜m＜1，x1＜x2＜0， ∴mx2﹣mx1＜0，2x1﹣2x2＜0， ∴g（x2）﹣g（x1）＜0，即g（x2）＜g（x1）， ∴lg（g（x2））＜lg（g（x1））， ∴lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0， ∴f（x2）＜f（x1）， ∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是单调递减函数， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值为f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）， ∵f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，即f（x）＞0在（﹣∞，﹣1]上恒成立， ∴f（x）min＞0， ∴f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）＞0，即m﹣1﹣2﹣1＞1， ∴＞1+=， ∵0＜m＜1， ∴0＜m＜， 故m的取值范围为0＜m＜． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，. （1）当时，求的面积； （2）求周长的最大值. 参考答案： （1）由条件得：，∴， ∴. ①时，，，∴， ②时，，∴， ，∴. ∴或. （2）设的外接圆半径为，∴由正弦定理得：， ∴， ∴周长. ∵，∴，∴，∴， ∴， ， ∵，∴∴，∴. 20. （10分）（2015秋?天津校级月考）已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2 （1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值； （2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）根据f（﹣1）=﹣2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立关于a与b的方程组，解之即可； （2）根据函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数