安徽省六安市光明中学高一数学理月考试题含解析

安徽省六安市光明中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为（     ） A．         B。        C．         D． 参考答案： D 2. 设a＞0，b＞0，a+b+ab=24，则（　　） A．a+b有最大值8 B．a+b有最小值8 C．ab有最大值8 D．ab有最小值8 参考答案： B 【考点】7F：基本不等式． 【分析】由a＞0，b＞0，a+b+ab=24，解方程，用a表示b，把ab和a+b转化成只含有字母a的代数式，利用基本不等式求出ab的最大值和a+b的最小值． 【解答】解：∵ ∴； 而 故答案为B． 3. 函数y=的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（　　） A．（﹣∞，0）∪（，2] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，）∪[2，+∞） D．（0，+∞） 参考答案： A 【考点】函数的值域． 【分析】先利用x∈（﹣∞，1）∪[2，5），求出x﹣1的取值范围，再取倒数即可 求出函数y=的值域． 【解答】解：∵x∈（﹣∞，1）∪[2，5）， 则x﹣1∈（﹣∞，0）∪[1，4）． ∴∈（﹣∞，0）∪（，2]．故函数y=的值域为（﹣∞，0）∪（，2] 故选A． 4. 函数的周期是(    ) A.      B.     C.   D. 参考答案： A 5. 函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵， 定义域， 解出． 故选． 6. 已知集合，,则实数值为（    ） A． 4      B．3       C．2       D．1 参考答案： B 略 7. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（　　） A．lg97 B．lg98 C．lg99 D．2 参考答案： C 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次利用对数的运算性质计算每次循环得到的b的值，计算a的值，当a=100时不满足条件a＜100，退出循环，输出b的值为lg99． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=2，b=lg2， 满足条件a＜100，b=lg2+lg=lg3，a=3 满足条件a＜100，b=lg3+lg=lg4，a=4 … 满足条件a＜100，b=lg98+lg=lg99，a=100 不满足条件a＜100，退出循环，输出b的值为lg99． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，利用对数的运算性质计算每次循环得到的b的值是解题的关键，属于基础题． 8. 读下面的程序：    INPUT  N I=1 S=1 WHILE  I<=N S =S*I I = I+1 WEND PRINT  S END 上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为 ()  A. 6         B. 720       C. 120        D. 1 参考答案： B 略 9. 将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于直线x=对称，则φ的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得，k∈Z，由此求得φ的最小值． 【解答】解：把函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，可得y=sin[4（x+φ）+]=sin（4x+4φ+）的图象， 由于所得图象关于直线对称， ∴，∴， ∵φ＞0，∴， 故选：B． 10. 有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（　　） ①若?=?，则=②?（?=（?）? ③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心． A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③． 【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误； 对于②，?（?表示与共线的向量，（ ?）?表示与共线的向量，显然?（?≠（?）?，故②错误； 对于③，若，则（）=0，即， ∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB， ∴P是△ABC的垂心，故③正确． 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为　　． 参考答案： 【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象． 【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值． 【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1）， x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2）， 则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa| =|sin（a﹣）|≤． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题． 12. 直线a∥b，b，则a与的位置关系是   ▲  . 参考答案： 或 13. 已知奇函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）f（x）＞﹣2；（3）在（0，+∞）上单调递减；（4）对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．请写出一个这样的函数解析式：　　． 参考答案： f（x）=﹣2（） 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】分析函数f（x）=﹣2（）的定义域，单调性，值域，可得结论． 【解答】解：函数f（x）=﹣2（）的定义域为R； 函数f（x）在R上为减函数，故在（0，+∞）上单调递减； 当x→+∞时，f（x）→﹣2，故f（x）＞﹣2； 函数的值域为：（﹣2，2），故对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d． 故满足条件的函数可以是f（x）=﹣2（）， 故答案为：f（x）=﹣2（），答案不唯一 14. 某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数是    ． 参考答案： 600 15. 已知是一个正项等比数列中连续的三项，则        ； 参考答案： 4 16. 已知y=f（2x）的定义域为[﹣1，1]，则y=f（log2x）的定义域是　　． 参考答案： [，4] 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由函数?（2x）的定义域为[﹣1，1]，知≤2x≤2．所以在函数y=?（log2x）中，≤log2x≤2，由此能求出函数y=?（log2x）的定义域． 【解答】解：∵函数?（2x）的定义域为[﹣1，1]， ∴﹣1≤x≤1， ∴≤2x≤2． ∴在函数y=?（log2x）中，≤log2x≤2， ∴≤x≤4． 故答案为：[，4]． 17. （3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=        ． 参考答案： ﹣9 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 先根据已知条件把转化为f（﹣3）；再结合奇函数以及x＞0时，f（x）=1+2x即可得到结论． 解答： 因为：log8=﹣3； ∴=f（﹣3）； ∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x， ∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9． 故答案为：﹣9． 点评： 本题主要考察函数的奇偶性性质的应用．属于基础题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义在上的函数是偶函数，且时，  ， (1)求解析式；   (2)写出的单调递增区间。（本题满分12分） 参考答案： （1）时，-x>0  ∵时  ∴ （2分） ∵是偶函数， （4分） 时，（6分） ； （8分）  （2）,  （12分）   19. 已知.   （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并予以证明； （3）求使的的取值范围. 参考答案： 解：(1) …………………………………………………………………（2分） 所以函数的定义域为………………………………………………………（3分）     (2) 任意取，则……………………………………………………（4分） 即…………………………………………………………………（6分） 所以函数是奇函数．…………………………………………………………………（7分） (3) 由，可得，即 …………………………………………………………（8分） ……………………………………………………（9分） 所以， 略 20. （Ⅰ）已知，，求的最小值。 （Ⅱ）已知，求证：。 参考答案： 解:（Ⅰ） ……  5分 当且仅当时取等号, 故的最小值是…… 7分 （Ⅱ）证明：∵ ∴…12分 ∴……… 14分 略 21. 如图，点A，B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB． （1）若A的坐标为（，），求点B的横坐标；                           （2）求|BC|的取值范围． 参考答案： 【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线． 【分析】（1）利用三角函数的定义可得cosα=，sinα=，∠COB=α+，利用两角和的余弦可求得cos（α+）=，从而可得点B的横坐标； （2）先求|BC|2=2﹣2cos（α+）的取值范围，再开方即可求得|BC|的取值范围． 【解答】解：（1）由于A的坐标为（，），由三角函数的定义知，cosα=，sinα=…2分 又∠COB=α+， ∴cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=…5分 ∴点B的横坐标为…6分 （2）|BC|2=2﹣2cos（α+）…9分 ∵0＜α＜，故＜α+＜， ∴cos（α+）∈（﹣，﹣）， ∴|BC|2∈（1，2+）， ∴|BC|∈（1，）…12分 22. 若f（x）是定义在（0，+∞），对一切x，y＞0，满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0 （1）证明：f（x）在（0，+∞）是增函数； （2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数； （2）将不等式f（x+3）﹣f（）＜2．行等价转化，利用函数的单调性进行求解． 【解答】（1）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则＞1，则f（）＞0， 又f（x?y）=f（x）+f（y）， ∴f（x1）+f（）=f（x2）， 则f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0， ∴f（x2）＞f（x1）， ∴f（x）在定义域内是增函数． （2）解：∵f（2）=1， ∴f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，即f（4）=2， 则不等式f（x+3）﹣f（）＜2等价为f（x+3）﹣f（）＜f（4）， 即f（x+3）＜f（）+f（4）=f（）， 则不等式等价为，即， 即﹣3＜x＜， 即不等式的解集为（﹣3，）． 【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，