湖南省株洲市夏泉中学高一数学文上学期期末试题含解析

湖南省株洲市夏泉中学高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数的图像经过第一、三和四象限，则（    ） A．>1   B．0< <1且m>0  C．>1 且m<0   D．0< <1 参考答案： C 2. 若实数x，y满足，则z＝x＋2y的最大值为（） A、0　　B、1　　C、 　D、2 参考答案： D 试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当z＝x＋2y过点时取得最大值2 考点：线性规划问题 3. 如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则 A．                          B．            C．                        D．2 参考答案： C 4. 设若的最小值为（    ）     A． 8        B． 4          C． 1         D． 参考答案： B 略 5. 已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（　　） A． B． C． D．1 参考答案： C 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离． 【解答】解：由题意画出图形如图： 直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足， 若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h， 所以AD=，CD=，BC= 由VB﹣ACD=VD﹣ABC可知 所以，h= 故选C． 6. 已知sinx=3cosx，则sinxcosx的值是（　　） A． B． C．D． 参考答案： C 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】将已知等式代入sin2x+cos2x=1中，求出sin2x与cos2x的值，根据sinx与cosx同号，即可求出sinxcosx的值． 【解答】解：将sinx=3cosx代入sin2x+cos2x=1中得： 9cos2x+cos2x=1， 即cos2x=， ∴sin2x=1﹣cos2x=， ∵sinx与cosx同号， ∴sinxcosx＞0， 则sinxcosx==． 故选：C． 7. 若且  ，则的值是(      )；   A.或          B.          C.         D. 参考答案： D 略 8. 函数与的图像如图，则函数的图像可能是（    ）． A．B．C．D． 参考答案： A 解：由的图像可知：在时，函数值为负，时，函数值为正， 结合的图像可知：时，函数值先为正数，后为，再为负数， 时，函数值先为负数，后为，再为正数，时，先为负数，后为，再为正数，且的图像不过原点． 故选． 9. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．[﹣2，0] C．（﹣2﹣2，﹣2+2） D．[0，1] 参考答案： A 【分析】解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围； 解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立 令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可． g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+）2﹣﹣a+1． ①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1； ②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min=g（﹣）=﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0； ③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜﹣2． 综上a＜1． 法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1， ∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0， ∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R； ②当x∈[0，1）时，a＜恒成立． 求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值． 令t=1﹣x（t∈（0，1]），则y===t+﹣2， 而函数y=t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，ymin=1． 故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1， 由①②得a＜1． 故选：A 【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想． 　 10. 若x，y满足，则的最小值是（   ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 参考答案： B 【分析】 本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组在坐标系中所表示的可行域，然后通过对目标函数进行平移即可找出可行域内使得目标函数取最小值的点为，最后将代入目标函数中即可得出结果。 【详解】 可根据题目所给不等式组画出如图所示的平面区域， 得出、、， 再根据线性规划的相关性质对目标函数进行平移， 可知当目标函数过点时取最小值，此时，故选B。 【点睛】本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组正确的画出可行域并在可行域中找出目标函数的最优解是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，锻炼了学生的绘图能力，是中档题。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 当x[-1,1]时，函数f(x)=3x-2的值域为                参考答案： 12. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； 其中正确命题的序号是　　． 参考答案： ①②③ 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【分析】对于①，可以考虑线面垂直的定义及线面平行的性质定理；对于②，根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理容易解决；对于③，分析线面垂直的性质即可；对于④，考虑面面垂直的性质定理及两个平面的位置关系． 【解答】解：命题①，由于n∥α，根据线面平行的性质定理，设经过n的平面与α的交线为b， 则n∥b，又m⊥α，所以m⊥b，从而，m⊥n，故正确； 命题②，由α∥β，β∥γ，可以得到α∥γ，而m⊥α，故m⊥γ，故正确； 命题③，由线面垂直的性质定理即得，故正确； 命题④，可以翻译成：垂直于同一平面的两个平面平行，故错误； 所以正确命题的序号是 ①②③ 13. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是  ▲  . 参考答案： 14. （5分）已知向量，则=           ． 参考答案： 1 考点： 向量的模． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量模的计算公式和平方关系即可得出． 解答： ∵向量， ∴=1． 故答案为1． 点评： 熟练掌握向量模的计算公式和平方关系是解题的关键． 15. 用二分法求图像连续不断的函数在区间上的近似解（精确度为），求解的部分过程如下：，取区间的中点，计算得，则此时能判断函数一定有零点的区间为_______。 参考答案： 16. 函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为          . 参考答案： (2,0) 17. （5分）无论实数a，b（ab≠0）取何值，直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点        ． 参考答案： （﹣2，3） 考点： 恒过定点的直线． 专题： 直线与圆． 分析： 把已知直线变形为，然后求解两直线x+2=0和y﹣3=0的交点得答案． 解答： 由ax+by+2a﹣3b=0，得 a（x+2）+b（y﹣3）=0，即， 联立，解得． ∴直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 点评： 本题考查了直线系方程，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数的图像与x轴的公共点恰好只有一个，求实数a的取值范围； （3）设，，若对任意的，都有，求实数a的取值范围。 参考答案： （1）由得 解得：因此不等式的解集为 （2）由题意得方程的根有且只有一个。 方程可化为： 即： 当时，，满足题意， 当时，，得，此时，满足题意 当时，，且 是原方程的解，当且仅当，即 是原方程的解，当且仅当，即 于是满足题意的 综上：a的范围为 （3）由题意，函数f(x)在区间上是减函数，因此 则： 化简得，该式对任意的恒成立。 因为，因此函数在区间上单调递增 当时，y有最小值，则由得： 故a的取值范围为 19. （本题12分）已知  （1）写出的定义域； （2）证明函数在是增函数。 参考答案： 解：（1）R        （2）任取，                                            上是增函数 20. （本小题满分12分）   已知函数的图象经过点（0 2） （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域. 参考答案： （1）∵函数的图象经过点（0 2） ∴    ∴    ------------------------------------------------------------2分    ∴ ＝        ---------------------------------------------------------6分    ∴ 由得 ∴函数的单调递减区间函数的单调递减区间为   -----------------------------------------------------8分 （2）由（1）知 ∵ ∴  ∴   --------------------------------------------------------10分 ∴ ，即函数的值域为  ---------------------------12分 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，求. 参考答案： （1）60°；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得. 【详解】解：（1）由正弦定理得：， 又，，得 . （2）由正弦定理得：， 又由余弦定理：， 代入，可得. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形． （Ⅰ）根据图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； （Ⅱ）求PA的长 参考答案