2022年贵州省遵义市市汇仁中学高三数学理联考试卷含解析

2022年贵州省遵义市市汇仁中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的零点个数为 A．9 B．10 C．11 D．12 参考答案： D 2. 设全集等于 A.        B.        C.     D. 参考答案： C 由已知，得，所以 选C. 3. 在△ABC中，角A、B均为锐角，则cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用诱导公式cos（﹣α）=sinα及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案． 【解答】解：因为cosA＜sinB，所以cosA＞cos（﹣B）， 又因为角A，B均为锐角，所以﹣B为锐角， 又因为余弦函数在（0，π）上单调递减， 所以A＜﹣B，所以A+B＜ △ABC中，A+B+C=π，所以C＞， 所以△ABC为钝角三角形， 若△ABC为钝角三角形，角A、B均为锐角 所以C＞， 所以A+B＜ 所以A＜﹣B， 所以cosA＞cos（﹣B）， 即cosA＞sinB 故cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的充要条件． 故选：C 【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题． 4. 已知函数 在区间上的最大值是1，则的取值范围是           ． 参考答案： 当时，由得。当时，由得，。，所以由图象可知，，即。 【答案】 略 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是         （     ） A.                B． C．      D． 参考答案： B 对于，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，选项错误； 对于，的定义域为而 的定义域为，故不是同一函数，选项错误； 对于，与 的解析式相同，但定义域不同，不是同一函数； 故答案选   6. 设，则a，b，c的大小关系是 A．a＞c＞b         B．a＞b＞c      C．c＞a＞b       D．b＞c＞a        参考答案： A 7. 已知m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面,有下列命题 ①若，则 ②若，则 ③若，则. ④若，则 其中真命题的个数是， (A)O 个 （B)1 个（C）2 个 （D)3 个 参考答案： B 8. 定义在（0，）上的函数是它的导函数，且恒有成立，则（　   ） A. B. C.   D. 参考答案： D 略 9. 用数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增添的代数式是  （    ） （A）  （B）    （C） （D） 参考答案： 答案：C 10. 的共轭复数是 A．        B．           C．         D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为　　． 参考答案： （﹣） 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案． 【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x． ∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数， ∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）． 故答案为：（﹣）． 【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12. 已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是      . 参考答案： （   ） 略 13. 已知函数，则         参考答案： 2  略 14. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，其侧棱长均为，则其外接球的表面积为   ． 参考答案： 15. 已知一个扇形的周长为20cm，则此扇形的面积的最大值为_____________cm2. 参考答案： 16. 某地区抽样调查了该地区居民的月均用电量。并根据调查后得到的样本数据绘制了如图所示的频率分布直方图。根据频率分布直方图可估计居民月均用电量的中位数是      参考答案： 17. 在中，，则的值为___________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分16分） 已知函数的值域为集合， （1）若全集，求； （2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围； （3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值． 参考答案： (1)由已知得， ，则      ……1分 当且仅当时，即等号成立，                                                 ………3分 所以，                                          ………4分 (2)由题得                                                ………5分 函数在的最大值为                          ………9分                                           ……10分 (3)设，则直线的方程为， 即，                                        ……11分 由  得              ……13分 又，                                           ………14分  所以，，故    ……16分   19. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 （1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ 参考答案： （1），同理：，。 AD—AB=DB，故得， 解得 因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知，得， ，（当且仅当时，取等号） 故当时，最大。 因为，则，所以当时，-最大。   故所求的是m。 20. （14分）（2014?宜春校级模拟）设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx． （Ⅰ）若f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f′（）=﹣4，解出a的值即可； （Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a≥0，a＜0两种情况，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间； （Ⅲ）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，利用分析法和根据（II）结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论． 【解答】解：（I）由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx， 则． 又∵f（x）的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行， ∴，即4a×+×（a+4）+1=﹣1， 解得  a=﹣6．…（4分） （Ⅱ）由（I）得，， 由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx的定义域为（0，+∞）， 由x＞0，得＞0． ①当a≥0时，对任意x＞0，f′（x）＞0， ∴此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． ②当a＜0时，令f′（x）=0，解得， 当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0， 此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）． （Ⅲ）不妨设A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，由（Ⅱ）知 a＜0， 于是要证f'（x）＜0成立，只需证：即． ∵，① ，② ①﹣②得， 即， ∴， 故只需证， 即证明， 即证明，变形为， 设（0＜t＜1），令， 则=， 显然当t＞0时，g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0， ∴g（t）在（0，+∞）上是增函数． 又∵g（1）=0， ∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，命题得证．…（14分） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义及不等式的证明问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高． 21. 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表所示（单位：辆），若按A，B，C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，则A类轿车有10辆． （Ⅰ）求z的值；   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 （Ⅱ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个分数a．记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件E={，且函数f（x）=ax2﹣ax+2.31没有零点}，求事件E发生的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得：=，求得n=2000，可得 z的值． （Ⅱ） 求出8辆轿车的得分的平均数为 ，由，且函数f（x）=ax2﹣ax+2.31没有零点 可得，由此解得a的范围，求得E发生当且仅当a的值，从而求出事件E发生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得：=，所以n=2000，∴z=2000﹣100﹣300﹣150﹣450﹣600=400．    … （Ⅱ）  8辆轿车的得分的平均数为 =（ 9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．… 把8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个分数a对应的基本事件的总数为8个， 由，且函数f（x）=ax2﹣ax+2.31没有零点 可得，解得 8.5≤a＜9.24． … ∴E发生当且仅当a的值为：8.6，9.2，8.7，9.0共4个，∴． … 【点评】本题主要考查用列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，分层抽样的定义和方法，属于基础题． 22. 如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动． （Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？ 参考答案： 【考点】直线与平