四川省自贡市永年中学高三数学理测试题含解析

四川省自贡市永年中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知A，B分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆交于C，D两点，若四边形ABCD的面积最大值为2c2，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】联立直线方程和椭圆方程，求出C，D的坐标，得到|CD|，再由点到直线的距离公式求出A，B到直线的距离，把四边形的面积转化为两个三角形的面积和，由基本不等式求得最大值，结合最大值为2c2求得椭圆的离心率． 【解答】解：如图， 联立，得C（），D（）， ∴|CD|==． A（a，0）到直线kx﹣y=0的距离为=， B（0，b）到直线kx﹣y=0的距离为， ∴四边形ABCD的面积S===． 当且仅当ak=b，即k=时上式等号成立， ∴，即2a2b2=4c4，∴a2b2=2c4， 则a2（a2﹣c2）=2c4，解得：． 故选：D． 2. 设函数f(x)的定义域为D，若 满足条件：存在 ，使f(x)在[a，b]上的值域是 ，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数 为“倍缩函数”，则t的范围是     A.           B.(0，1)         C.          D． 参考答案： A 略 3. 已知向量与平行,则的值为（       ） A. 6和-10     B.  –6和10     C. –6和-10     D. 6和10 参考答案： B 略 4. 如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（） A. B. a2＜b2 C. a3＜b3 D. ac2＜bc2 参考答案： C 【分析】 根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可． 【详解】∵a＜b＜0， 不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，则，a2>b2 所以A、B不成立，当c=0时，ac2=bc2所以D不成立， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题． 5. 命题“若，则”的逆否命题是 （A）若，则    （B）若，则 （C）若，则     （D）若，则 参考答案： C 略 6. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为   A．-l    B．1    C．0 D． -2014   参考答案： C 7. 已知，满足那么的最小值是 A. －1      B. 0     C. 1          D. 2   参考答案： A 8. 设集合A={x|＜0}，B={x||x﹣1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠?”的（　　） A. 充分不必要条件          B. 必要不充分条件  C. 充要条件       D. 既不充分又不必要条件   参考答案： A 略 9. 如果执行下面的框图，运行结果为(     ) A． B．3 C． D．4 参考答案： B 考点：循环结构． 专题：计算题． 分析：先由流程图判断其作用，即求数列=的前9项和，再对数列进行裂项求和即可 解答： 解：本框图的作用即求s=1++++…+=1+（﹣1）+（﹣）+…+（）==3 故选B 点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的认识和意义，循环结构的流程规则 10. 已知是可导的函数，且对于恒成立，则 A． B． C．   D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，，则       ． 参考答案： ． 因为，，则 ，所以．故填． 【解题探究】本题主要考查函数定义域的求解和集合的补集、交集运算．求解集合时要注意两点：一是根式有意义的条件，二是分母不能为；求解集合的补集，要注意区间端点的取值． 12. 已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表． x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示： 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）是周期函数； ②函数f（x）在是减函数； ③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点； ⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是      ． 参考答案： ②⑤ 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性． 专题：阅读型． 分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案． 解答： 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图： 由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数． ②为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减； ③为假命题，当t=5时，也满足x∈时，f（x）的最大值是2； ④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点． ⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 综上得：真命题只有②⑤． 故答案为：②⑤ 点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减． 13. 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为             . 参考答案： 因为点的坐标为，所以，即，所以当时，得角的最小正值为。 14. 已知 是定义在R上的奇函数，当 时，则的值为_____. 参考答案： 【知识点】奇函数的性质.B4    解析：因为是定义在R上的奇函数，所以， ，而，所以， 故答案为. 【思路点拨】直接利用函数的奇偶性解题即可。 15. 若cosα＝－且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x是____________． 参考答案： 16. 在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           （1）球心到平面ABC的距离为       ； （2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为        ． 参考答案： 12 、 3 17. 已知函数，若函数的零点所在的区间为，则    ▲   . 参考答案： 1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I）求曲线的极坐标方程； （II）若射线与曲线的公共点分别为，求的最大值． 参考答案： （I）曲线的极坐标方程为， 曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为.   4分 （II）设，，因为是射线与曲线的公共点，所以不妨设，则，，           6分 所以 ，       8分 所以当时，取得最大值.               10分 19. 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=． （Ⅰ）求AC的长； （Ⅱ）求梯形ABCD的高． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可； （Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°，解得AD，过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD?sin60°，即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=． 由正弦定理得：， 即==2． （Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°， 整理得AD2+2AD﹣24=0，解得AD=4． 过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高． ∵AB∥CD，∠ADC=120°， ∴∠BAD=60°． 在直角△ADE中，DE=AD?sin60°=2． 即梯形ABCD的高为． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. (满分14分)设函数.若方程的根为0和2,且. (1). 求函数的解析式; (2) 已知各项均不为零的数列满足:为该数列的前n项和),求该数列的通项; (3)如果数列满足.求证:当时,恒有成立.          参考答案： (1)设…2分 (2)由已知得……5分 两式相减得,……6分 当.若 ……8分   21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满 足an=4log2bn＋3， n∈N﹡。 （Ⅰ）求an，bn； （Ⅱ）求数列{an·bn}的前n项和Tn。 参考答案： 略 略 22. （12分）如图1，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （1）求四面体的体积；       （2）证明：∥平面； （3）证明：平面平面． 参考答案： （1）证明：（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点， 所以 △的面积为 ．………………1分 因为平面，              ………………2分 所以四面体的体积为                    ………………3分    ．                ………………4分 （2）证明：取中点，连结，．      ………………5分 由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，． ………6分 又因为∥，， 所以∥，． 所以四边形为平行四边形，所以∥．     ………………7分 因为 平面，平面， 所以 直线∥平面．                  …………… ………………8分 （3）证明：因为 平面，所以 ． 因为面为正方形，所以 ． 所以 平面．                    …………… ………………9分 因为 平面，所以 ．       因为 ，为中点，所以 ． 所以 平面．                    ……………………………10分 因为 ∥，所以平面．             ………………11分 因为 平面， 所以 平面平面.   ………………12分