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四川省自贡市永年中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ABCD的面积最大值为2c2,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】联立直线方程和椭圆方程,求出C,D的坐标,得到|CD|,再由点到直线的距离公式求出A,B到直线的距离,把四边形的面积转化为两个三角形的面积和,由基本不等式求得最大值,结合最大值为2c2求得椭圆的离心率.
【解答】解:如图,
联立,得C(),D(),
∴|CD|==.
A(a,0)到直线kx﹣y=0的距离为=,
B(0,b)到直线kx﹣y=0的距离为,
∴四边形ABCD的面积S===.
当且仅当ak=b,即k=时上式等号成立,
∴,即2a2b2=4c4,∴a2b2=2c4,
则a2(a2﹣c2)=2c4,解得:.
故选:D.
2. 设函数f(x)的定义域为D,若 满足条件:存在 ,使f(x)在[a,b]上的值域是 ,则称f(x)为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数”,则t的范围是
A. B.(0,1) C. D.
参考答案:
A
略
3. 已知向量与平行,则的值为( )
A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和10
参考答案:
B
略
4. 如果a<b<0,则下列不等式成立的是()
A. B. a2<b2 C. a3<b3 D. ac2<bc2
参考答案:
C
【分析】
根据a、b的范围,取特殊值带入判断即可.
【详解】∵a<b<0,
不妨令a=﹣2,b=﹣1,则,a2>b2
所以A、B不成立,当c=0时,ac2=bc2所以D不成立,
故选:C.
【点睛】本题考查了不等式的性质,考查特殊值法进行排除的应用,属于基础题.
5. 命题“若,则”的逆否命题是
(A)若,则 (B)若,则
(C)若,则 (D)若,则
参考答案:
C
略
6. 执行如图所示的程序框图,输出S的值为
A.-l B.1
C.0 D. -2014
参考答案:
C
7. 已知,满足那么的最小值是
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
参考答案:
A
8. 设集合A={x|<0},B={x||x﹣1|<a},若“a=1”是“A∩B≠?”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案:
A
略
9. 如果执行下面的框图,运行结果为( )
A. B.3 C. D.4
参考答案:
B
考点:循环结构.
专题:计算题.
分析:先由流程图判断其作用,即求数列=的前9项和,再对数列进行裂项求和即可
解答: 解:本框图的作用即求s=1++++…+=1+(﹣1)+(﹣)+…+()==3
故选B
点评:本题考察了算法的表示方法,程序框图的认识和意义,循环结构的流程规则
10. 已知是可导的函数,且对于恒成立,则
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合,,则 .
参考答案:
.
因为,,则
,所以.故填.
【解题探究】本题主要考查函数定义域的求解和集合的补集、交集运算.求解集合时要注意两点:一是根式有意义的条件,二是分母不能为;求解集合的补集,要注意区间端点的取值.
12. 已知函数f(x)的定义域为,部分对应值如下表.
x
﹣1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示:
下列关于f(x)的命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)在是减函数;
③如果当x∈时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;
⑤函数y=f(x)﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
②⑤
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数的周期性;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.
专题:阅读型.
分析:先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象,再借助与图象和导函数的图象,对五个命题,一一进行验证,对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案.
解答: 解:由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象可由以下两种代表形式,如图:
由图得:①为假命题.函数f(x)不能断定为是周期函数.
②为真命题,因为在上导函数为负,故原函数递减;
③为假命题,当t=5时,也满足x∈时,f(x)的最大值是2;
④为假命题,当a离1非常接近时,对于第二个图,y=f(x)﹣a有2个零点,也可以是3个零点.
⑤为真命题,动直线y=a与y=f(x)图象交点个数可以为0、1、2、3、4个,故函数y=f(x)﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
综上得:真命题只有②⑤.
故答案为:②⑤
点评:本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是:导函数为正,原函数递增;导函数为负,原函数递减.
13. 已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 .
参考答案:
因为点的坐标为,所以,即,所以当时,得角的最小正值为。
14. 已知 是定义在R上的奇函数,当 时,则的值为_____.
参考答案:
【知识点】奇函数的性质.B4
解析:因为是定义在R上的奇函数,所以,
,而,所以,
故答案为.
【思路点拨】直接利用函数的奇偶性解题即可。
15. 若cosα=-且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是____________.
参考答案:
16. 在半径为13的球面上有A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)球心到平面ABC的距离为 ;
(2)过A,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 .
参考答案:
12 、 3
17. 已知函数,若函数的零点所在的区间为,则 ▲ .
参考答案:
1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,曲线,曲线为参数), 以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求曲线的极坐标方程;
(II)若射线与曲线的公共点分别为,求的最大值.
参考答案:
(I)曲线的极坐标方程为,
曲线的普通方程为,所以曲线的极坐标方程为. 4分
(II)设,,因为是射线与曲线的公共点,所以不妨设,则,, 6分
所以
, 8分
所以当时,取得最大值. 10分
19. 在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠ADC=120°,cos∠CAD=.
(Ⅰ)求AC的长;
(Ⅱ)求梯形ABCD的高.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】(Ⅰ)在△ACD中,由正弦定理得:,解出即可;
(Ⅱ)在△ACD中,由余弦定理得:AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°,解得AD,过点D作DE⊥AB于E,则DE为梯形ABCD的高.在直角△ADE中,DE=AD?sin60°,即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)在△ACD中,∵cos∠CAD=,∴sin∠CAD=.
由正弦定理得:,
即==2.
(Ⅱ)在△ACD中,由余弦定理得:AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°,
整理得AD2+2AD﹣24=0,解得AD=4.
过点D作DE⊥AB于E,则DE为梯形ABCD的高.
∵AB∥CD,∠ADC=120°,
∴∠BAD=60°.
在直角△ADE中,DE=AD?sin60°=2.
即梯形ABCD的高为.
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. (满分14分)设函数.若方程的根为0和2,且.
(1). 求函数的解析式;
(2) 已知各项均不为零的数列满足:为该数列的前n项和),求该数列的通项;
(3)如果数列满足.求证:当时,恒有成立.
参考答案:
(1)设…2分
(2)由已知得……5分
两式相减得,……6分
当.若
……8分
21. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满
足an=4log2bn+3, n∈N﹡。
(Ⅰ)求an,bn;
(Ⅱ)求数列{an·bn}的前n项和Tn。
参考答案:
略
略
22. (12分)如图1,在四棱锥中,底面,底面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1)求四面体的体积; (2)证明:∥平面;
(3)证明:平面平面.
参考答案:
(1)证明:(Ⅰ)解:由左视图可得 为的中点,
所以 △的面积为 .………………1分
因为平面, ………………2分
所以四面体的体积为
………………3分
. ………………4分
(2)证明:取中点,连结,. ………………5分
由正(主)视图可得 为的中点,所以∥,. ………6分
又因为∥,, 所以∥,.
所以四边形为平行四边形,所以∥. ………………7分
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面. …………… ………………8分
(3)证明:因为 平面,所以 .
因为面为正方形,所以 .
所以 平面. …………… ………………9分
因为 平面,所以 .
因为 ,为中点,所以 .
所以 平面. ……………………………10分
因为 ∥,所以平面. ………………11分
因为 平面, 所以 平面平面. ………………12分
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