安徽省阜阳市文侠中学高二数学理下学期期末试题含解析

安徽省阜阳市文侠中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y=x2的焦点坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（0，） D．（0，） 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据题意，由抛物线的方程分析可得该抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p=，由坐标公式计算可得答案． 【解答】解：抛物线的方程为： y=x2，变形可得x2=y， 其焦点在y轴正半轴上，且2p=， 则其焦点坐标为（0，）， 故选：D． 2. 曲线f（x，y）＝0关于点（1，2）对称的曲线方程是 A.f（x－1，y－2）＝0　　B. f（x－2，y－4）＝0 C.f（1－x，2－y）＝0　　D. f（2－x，4－y）＝0 参考答案： D 3. 已知是三次函数的两个极值点，且则的取值范围是（     ） A.          B.            C.          D. 参考答案： A 4. 已知非零向量,，存在实数满足：，则必有 (  )    A．         B．        C．          D． 参考答案： C 略 5. 已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A．＞ B．2a﹣b＜1 C．＞ D．lg（a﹣b）＞0 参考答案： C 【考点】不等式比较大小． 【分析】根据对数和指数函数的性质判断B，D，举反例判断A，根据不等式的基本性质判断C． 【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，本选项不一定成立； B、∵a＞b，则a﹣b＞0．则2a﹣b＞1，本选项不成立； C、由c2+1≥1，故本选项一定成立； D、∵a﹣b＞0，当＜a﹣b＜1时，本选项不成立 故选：C 【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型． 6. 由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为(     ) A．1             B．           C．            D．3 参考答案： C   7. 已知向量，，若与共线，则等于（    ） A．；         B．             C．           D． 参考答案： C 8. 已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（　　） A． B．1 C．2 D．4 参考答案： A 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出． 【解答】解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）．，则，|FQ|=x2+2． 联立．化为k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）． ∵△＞0，∴，x1x2=4． ∴+====． 故选A． 【点评】本题考查了抛物线的焦点弦问题，属于中档题． 9. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为（   ）    A．          B．         C．8            D．16 参考答案： B 略 10. 已知等差数列｛an｝中，(     ) A.100          B.210           C.380       D.400 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线过点且与圆交于两点，如果，那么直线的方程为____________。 参考答案： 略 12. 若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　. 参考答案： 6 13. 平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是　     　． 参考答案： 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 【考点】I7：两条直线平行的判定；J7：圆的切线方程． 【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，1求出直线方程． 【解答】解：设所求直线方程为2x﹣y+b=0，平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切， 所以，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 故答案为：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题． 14. 已知，若，则______．______． 参考答案： ， 15. 已知实数，函数，若，则的值为   ▲   ． 参考答案： 略 16. 用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数. 参考答案： 96 【分析】 利用乘法原理，即可求出结果． 【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A． 【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题． 17. （概率）抛掷一枚均匀的正方体骰子，点数为3的倍数的概率为        .   参考答案： 1/3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知m、n、p是互不相等的非零实数.证明三个方程mx2+2nx+p=0，nx2+2px+m=0，px2+2mx+n=0至少有一个方程有两个相异实根.   参考答案： 解：假设三个方程都无实根或都只有两个相等实根则有     略 19. 已知数列中，，，数列满足 ； （1）           求证：数列是等差数列； （2）           求数列中的最大值和最小值，并说明理由 参考答案： 解析： (1),而, ∴,；故数列是首项为，公差为1的等差数列； （2）由（1）得，则；设函数， 函数在和上均为减函数，当时，；当时，；且，当趋向于时，接近1， ∴，． 20. （13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点． （Ⅰ）求证：PC∥平面BDE； （Ⅱ）证明：BD⊥CE． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE． （Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE． 【解答】（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE， 因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点． 又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分） 因为PC?平面BDE，OE?平面BDE， 所以PC∥平面BDE．…（6分） （Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分） 因为PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD， 所以PA⊥BD．…（10分） 又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分） 又CE?平面PAC， 所以BD⊥CE．…（13分） 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 21. （本题12分）抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为2，且 （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ 面积的最小值. 参考答案： （1）由已知： 故抛物线C的方程为：               ……4分 （2）由（1）知： 设:            ……6分 由  得：                   ……8分 同理：                      ……10分 ks5u 所以：四边形MPNQ的面积：   （当且仅当即：时等号成立） 所以：四边形MPNQ的面积的最小值为32.              ……12分    22. 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方辑私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 参考答案： 见解析． 解：如图所示，设辑私船追上走私船需小时， 则有，． 在中， ∵，， ． 根据余弦定理可求得． ． 在中，根据正弦定理可得 ， ∵， ∴，， ∴， 则有，（小时）（分钟）． 所以辑私船沿北偏东方向，需分钟才能追上走私船．