安徽省六安市罗集中学高三数学理下学期期末试题含解析

安徽省六安市罗集中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在下列四个命题中 ①是幂函数； ②“”是“”的充分不必要条件； ③命题“存在，”的否定是：“任意，” ④若，则函数只有一个零点。 其中错误的个数有（　　）个 A．4             B． 2          C．3         D．1 参考答案： B 略 2. 设在α∈R，则“cosα”是“α“的（    ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 参考答案： B 【分析】 α?cosα，反之不成立，例如：α2π．即可判断出关系． 【详解】α?cosα，反之不成立，例如：α2π． ∴“cosα”是“α“的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知两个非零向量的值为（    ） A．3           B．24             C．21               D．12 参考答案： C 4. 函数的单调递减区间是（      ） A．（，+∞）   B．（－∞，）C．（0，）    D．（e，+∞） 参考答案： C 略 5. 已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（　　） A．7 B． C．﹣ D．﹣7 参考答案： B 【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系． 【分析】由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣， ∴sinα=﹣=﹣， ∴tanα==， 则tan（﹣α）===． 故选B 6. 已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是(      ) A．       B.          C.           D. 参考答案： D 略 7. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： D 【考点】茎叶图． 【分析】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可． 【解答】解：根据茎叶图，得； 乙的中位数是33， ∴甲的中位数也是33，即m=3； 甲的平均数是=（27+39+33）=33， 乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33， ∴n=8； ∴=． 故选：D． 8. 已知正项等比数列{a}满足：，若存在两项使得，则的最小值为 A.   B.   C.   D. 不存在 参考答案： A 因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A. 9. 函数y=的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据函数的定义域与函数值的符号进行判断． 【解答】解：由函数有意义得2x﹣2≠0，即x≠1，排除B，C； 当x＜0时，y=，排除D； 故选A． 【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从定义域、值域、特殊点、单调性等方面进行判断，属于基础题． 10. 已知 ,则大小关系为：     A．   B．   C．    D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下： 第k棵树种植在点， 当表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2,T(0.2)=0.按此方案第2012棵树种植点的坐标应为      。 参考答案： 12. 已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若函数，有5个不同的零点，则实数t的取值范围是        ． 参考答案： 因为且是奇函数，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 令，，则， 由，得，， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 作出函数，的大致图象如图所示， 因为有个不同的零点，所以，解得；②当时，，显然满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 作出函数，的大致图象如图所示， 因为有个不同的零点，所以， 解得， 综上，的取值范围是． 13. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是          ． ①当时，S为四边形； ②当时，S为五边形； ③当时，S为六边形； ④当时，S为菱形. 参考答案：     ①②④  14. 三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是         ． 参考答案： 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值． 解答： 解：将△BOC作为三棱锥的底面， ∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°， ∴△BOS的面积为定值S==， ∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大， 此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==． 故答案为：． 点评：本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 15. 已知函数在上恒正，则实数的取值范围是           参考答案： 【知识点】指数函数   复合函数的单调性  B6  B3 设，需满足，即，因为，所以，从而，可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，所以，即为，故答案为. 【思路点拨】因为函数在上有意义，所以满足，求得，而可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，然后利用复合函数同增异减对进行分类讨论，可得结果. 16. 设定义在R上的函数有5个不同实数解，则的取值范围为：___。 参考答案： 17. 已知四棱锥的所有侧棱长都相等，底面为正方形，若四棱锥的高 为，体积为，则这个四棱锥的外接球的体积为          ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R． （Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e，讨论导数的正负，即可求出单调区间． （Ⅱ）可得f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，求出ex在[0，2]上的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e．… 令 f′（x）=0，解得x=1 x （﹣∞，1） 1 （1，+∞） f′（x） _ 0 + f（x） 单减   单增 故单调区间为 在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增….. 当x=1时f（x）取得极小值为f（1）=0….. （Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增， 则有f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，….. 而ex在[0，2]上的最小值为1， 故k≤1….. 19.  已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别是.    (1）求的值；     (2）求证：     (3）求的取值范围. 参考答案： ′    (1）依题意知为函数的极大值点 ′（0）=0  (2）证明：由（1）得′  为的根                        ①式 又在0，2上为减函数′≤0              ②式 由知②≤-3    由①知 ，由≤-3知≥2 (3）解：∵的三个根为                      ≤-3  ≥9,即≥9,≥3  20. 设函数f（x）=|2x﹣m|+4x． （I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1； （Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，求m的值． 参考答案： 【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法． 【专题】计算题；不等式的解法及应用． 【分析】（I）当m=2时，函数f（x）=|2x﹣2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①，或 ②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由f（x）=，可得连续函数f（x） 在R上是增函数，故有f（﹣2）=2，分当≥﹣2和当＜﹣2两种情况，分别求出m的值，即为所求． 【解答】解：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x﹣2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①，或 ②． 解①可得x∈?，解②可得x≤﹣，故不等式的解集为 {x|x≤﹣}． （Ⅱ）∵f（x）=，连续函数f（x） 在R上是增函数，由于f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}， 故f（﹣2）=2，当≥﹣2时，有2×（﹣2）+m=2，解得 m=6． 当＜﹣2时，则有6×（﹣2）﹣m=2，解得 m=﹣14． 综上可得，当 m=6或 m=﹣14 时，f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}． 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 21. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数． （Ⅰ）求x的取值范围，使为常函数； （Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）        ………..4分 则当时，为常函数.                  ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数的最小值为4，           ………..8分 则实数的取值范围为.                           …..10分 22. （本小题12分） 象棋比赛中，胜一局得2分，负一局得0分，和棋一局得1分，在甲对乙的每局比赛中，甲胜、和、负的概率依次为0.5，0.3，0.2.现此二人进行两局比赛，得分累加。 （I）求甲得2分的概率； （II）记甲得分为的分布列和期望。 参考答案： （I）解：分别记甲第i局胜、和、负为事件，则 甲得2分的事件为，其概率      ……………………6分    （II）的可能值为0，1，2，3，4，其中 的分布列为 0 1 2 3 4 P 0.04 0.12 0.29 0.3 0.25                                      ………………10分  ………………12 略