2022-2023学年浙江省温州市实验中学分校高二数学理月考试卷含解析

2022-2023学年浙江省温州市实验中学分校高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线在点处的切线方程为 （      ）               A.     B.     C.    D.   参考答案： B 略 2. 下列命题中错误的是 A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αβ=l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 参考答案： D 3. 由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有    （     ） A．10个             B．14个          C．16个                D．18个 参考答案： B 4. 若，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 直接利用诱导公式求解即可. 【详解】因为且， 所以，故选C. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 5. 对于每个自然数n，关于的一元二次函数y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2014B2014|的值是（***） A.                 B.             C.            D. 参考答案： D 略 6. 若m≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为              （   ） A.1          B.-3          C.           D.- 参考答案： D 略 7. 过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．  【专题】压轴题；直线与圆． 【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值． 【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）． 所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点）， 设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合， 则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即． 则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为． 则= ==． 令，则，当，即时，S△ABO有最大值为． 此时由，解得k=﹣． 故答案为B． 【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题． 8. 设b、c表示两条直线，?、?表示两个平面，下列命题中真命题是 A．若b??,c∥?，则b∥c B．若b?,b∥c，则c∥? C．若c∥?，c⊥?，则?⊥? D．若c∥?，?⊥?，则c⊥? 参考答案： C 9. 若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　） A．， B． C． D． 参考答案： D 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜﹣1联立求得k的范围． 【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0 设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2， ∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点， ∴，∴k＜0， ∴ 故选D 10. 数列{an}的通项式，则数列{an}中的最大项是（    ）     A、第9项                            B、第10项和第9项 C、第10项                           D、第9项和第8项 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将五种不同的文件随机地放入编号依次为的七个抽屉内，每个 抽屈至多放一种文件，则文件被放在相邻的抽屉内且文件被放在不相邻的抽屉内的 概率是     。 参考答案： = 12. 已知x＞0，y＞0，x+2y=16，则xy的最大值为　　． 参考答案： 32 【考点】基本不等式． 【分析】变形为x与2y的乘积，再利用基本不等式求xy的最大值即可． 【解答】解：，当且仅当x=2y=8时取等号． 故答案为32． 13. 如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是　　． 参考答案： 4 【考点】棱锥的结构特征． 【分析】先寻找出图形中的垂直关系再由垂直关系确定出直角三角形的个数． 【解答】解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直 由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形 故图中直角三角形的个数是4个 故答案为：4． 14. 如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2 个图形中共有　　　　　　　　　个顶点。   参考答案： 略 15. 抛物线的焦点坐标为___    ______    参考答案： 16. 已知，，若向量 共面，则＝        . 参考答案： 3 17. 曲线在点（-1，2）处的切线方程为                         . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆中心在原点，长轴在x轴上，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，两条准线间的距离为8． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，（O为坐标原点）？ 参考答案： 解析：（Ⅰ）设椭圆方程为： 由题意得：解得 …………………………3分   又   ∴，， ∴椭圆方程为．                          …………………………5分 （Ⅱ）设， 联立方程： 化简得：.………6分                                                            则，         ………………………7分      ∵     ∴ …………………………8分        又……………………9分       ∴       解得：  ∴                  …………………………11分       经检验满足       ∴当时，．                …………………………12分 19. 如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）． （1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.（12分） 参考答案： （I）当时，     又抛物线的准线方程为     由抛物线定义得，所求距离为 （2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为     由，     相减得,故     同理可得,由PA，PB倾斜角互补知     即,所以, 故     设直线AB的斜率为,由，,相减得     所以, 将代入得     ，所以是非零常数. 20. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，C=，b=8，△ABC的面积为10． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求cos（B﹣C）的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数． 【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：a=5， ∴由余弦定理可得：c===7…6分 （Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===， 又∵B∈（0，π），可得：sinB==， ∴cos（B﹣C）=cosBcos+sinBsin=×+=…12分 　 21. （12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点． （I）证明：EF⊥CD； （II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．     参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【分析】（I）取CD的中点G，连接EG，FG，证明CD⊥平面EFG，即可证明：EF⊥CD； （II）利用等体积方法，求点E到平面ABC的距离． 【解答】（I）证明：取CD的中点G，连接EG，FG， ∵E为BD的中点，∴EG∥BC， ∵BC⊥CD，∴EG⊥CD， 同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD， ∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG， ∴EF⊥CD； （II）解：S△ABC==，S△BCE==， 设点E到平面ABC的距离为h，则，∴h=， 即点E到平面ABC的距离为． 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积法求点E到平面ABC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22. 已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为． （1）求该双曲线C的标准方程； （2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为，求l的方程． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】（1）设双曲线的标准方程：（a＞0，b＞0），由c=，渐近线方程：y=±x，，由c2=a2﹣b2=5，即可求得a和b的值，求得双曲线的标准方程； （2）设l：y=2x+m，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，即可求得l的方程． 【解答】解：（1）由抛物线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程：（a＞0，b＞0）， 由c=，渐近线方程：y=±x， ∴=，即，即2a2=3b2， 由c2=a2﹣b2=5，解得：a2=3，b2=2， ∴双曲线C的标准方程； （2）设l：y=2x+m，与双曲线的交点为：M（x1，y1），N（x2，y2）． 则，整理得：10x2+12mx+3m2+6=0， 由韦达定理可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴， 解得，． ∴l的方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．