2022-2023学年云南省昆明市大渔中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年云南省昆明市大渔中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据空间向量数量积的定义结合向量夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【解答】解：∵ =（0，，﹣），=（x，0，﹣2）， ∴?=（0，，﹣）?（x，0，﹣2）=×2=， 则||==，||=， 若＜，＞=， 则cos＜，＞=cos=， 即==， 平方得，得x2=4，即x=±2， 即“x=2”是“＜，＞=”的充分不必要条件， 故选：A 2. 为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知, ，，若该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为   A. 160 B. 165 C. 170 D. 175 参考答案： D 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，，则b=（） A. 2 B. C. D. 4 参考答案： C 【分析】 先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b 【详解】 所以 【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题。 4. 若函数，则下列结论正确的是（   ） A.，在上是增函数   B.，在上是减函数 C.，是偶函数    D.，是奇函数 参考答案： C 略 5. 已知,则复数z=（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据复数的乘法运算求得，再根据共轭复数的定义求得结果. 【详解】由题意知：    本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题. 6. 在数列中，=1，，则的值为                A．99 B．49             C．101            D． 102 参考答案： C 7. 已知数列{an}的前n项和为，令，记数列{bn}的前n项为Tn，则T2015=（　　） A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014 参考答案： D 【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质． 【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”可得an，于是=2（n﹣1）?cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：由数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n， 当n=1时，a1=S1=1﹣1=0． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2． 上式对于n=1时也成立． ∴an=2n﹣2． ∴=2（n﹣1）?cos． ∵函数y=cos的周期T==4． ∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011） +（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015 =0﹣2（1+5+…+2009）+0+2（3+7+…+2011） +4024?cos+4026?cos+4028?cos =4×503+0﹣4026 =﹣2014． 故选D． 【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”求an、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 8. 如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自或内部的概率等于（    ） A.         B.         C.         D. 参考答案： A 略 9. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于（         ） A  1∶2∶3  B  3∶2∶1     C  2∶∶1        D  1∶∶2 参考答案： D 略 10. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　） A．7 B．12 C．17 D．34 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=2， 当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的S值为17， 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 阅读下面程序． 若a=4，则输出的结果是　　． 参考答案： 16 【考点】伪代码． 【分析】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，由a=4，即可得解． 【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值， a=4 不满足条件a＞4，a=4×4=16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了条件语句的程序代码，模拟执行程序代码，得程序的功能是解题的关键，属于基础题． 12. 3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有_________种． 参考答案： 18 13. 数列{an}中，a1=1，an+1=﹣，则a2016=　   　． 参考答案： ﹣2 【考点】数列递推式． 【分析】由a1=1，an+1=﹣，可得an=an+3，利用周期性即可得出． 【解答】解：∵a1=1，an+1=﹣， ∴a2=﹣，a3=﹣2，a4=1，…． ∴an=an+3， 则a2016=a3=﹣2． 故答案为：﹣2． 14. 与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。 参考答案： ，或 解析： 设直线为 15. 在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为　　． 参考答案： 【考点】等可能事件的概率． 【分析】本题考查的知识点是几何概型，由于函数cos是一个偶函数，故可研究出cosπx的值介于0到0.5之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解． 【解答】解：由于函数cos是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率 在区间[0，1]上随机取一个数x， 即x∈[0，1]时，要使cosπx的值介于0到0.5之间， 需使≤πx≤ ∴≤x≤1，区间长度为， 由几何概型知 cosπx的值介于0到0.5之间的概率为． 故答案为：． 16. 已知向量  ______. 参考答案： 1200 17. 在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为　　． 参考答案： 等腰三角形 【考点】三角形的形状判断．  【专题】计算题． 【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可． 【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA， ∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA， ∴sin（A﹣B）=0， ∴A﹣B=0， ∴A=B． ∴△ABC的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理，考查转化思想，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分） 等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求. 参考答案： 19. 已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）． （Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值； （Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性； （Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值； （Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间； （Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=， 令f′（x）=0，解得x=， 当0＜x＜时，f′（x）＜0； 当x≥时，f′（x）＞0 又∵f（）=2ln=2﹣2ln2 ∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值． （Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=， 当a＜﹣2时，﹣＜， 令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞， 令f′（x）＞0 得﹣＜x＜； 当﹣2＜a＜0时，得﹣＞， 令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣， 令f′（x）＞0 得＜x＜﹣； 当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0， 综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）； 当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减； 当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减， 当x=1时，f（x）取最大值； 当x=3时，f（x）取最小值； |f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3， ∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立， ∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3 整理得ma＞﹣4a， ∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立， ∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣， ∴m≤﹣． 20. 棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BD上运动． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1P； （Ⅱ）若BP=1，设异面直线B1P与AC1所成的角为θ，求cosθ的值． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（I）利用正方体与正方形的性质可得：BB1⊥AC，BP⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论． （Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）证明：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，则BB1⊥AC，… 正方形ABCD中，BD⊥AC，又P∈BD，则BP⊥AC，… 且BP∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1P．… （Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C1（1，1，1），B1（1，0，1）．  … 若BP=1，所以，… 所以，．