2022年河北省唐山市工业职业高级中学高二数学理期末试卷含解析

2022年河北省唐山市工业职业高级中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案； 【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜，＞，再利用换元法求出它的最大值即可． 【解答】解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为1， 如图所示； 则==（1，1，1）， ==（0，y，1），且E在线段D′C′上移动， 当E在D′位置时，cos＜，＞===； 当E在C′位置时，cos＜，＞===为最大值． 【解法二】∵=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1）， ∴?=y+1， ||=，||=， ∴cos＜，＞==； 设t=，则t2﹣1=y2， ∴y=（1≤t≤）， ∴f（t）=?=（+）； 设sinα=，则1≥sinα≥，即≤α≤， ∴g（α）=（+sinα） =（cosα+sinα） =sin（α+）， ∴当α=时，g（α）取得最大值为=． 故选：D． 2. 在等比数列{an}中，若a6=6，a9=9，则a3为（　　） A．2 B． C． D．4 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知结合等比数列的性质求解． 【解答】解：在等比数列{an}中，由a6=6，a9=9， 得． 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 　 3. 盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地抽取个，那么恰有两只不合格的概率是（      ） A             B          C              D 参考答案： B 略 4. 已知点列如下：，，，，，，，，，，，，……，则的坐标为(　) A. B. C. D. 参考答案： D 略 5. 已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是                  A.       B．       C．         D． 参考答案： A 6. 已知双曲线方程为，离心率为2，F1、F2分别是它的左、右焦点，A是它的右顶点，过F1作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N，则∠MAN为（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角、直角、钝角都有可能 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由于，可得c2=4a2=a2+b2，得到b2=3a2．双曲线方程，可表示为3x2﹣y2=3a2．设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为y=k（x+c），与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积即可得出． 【解答】解：∵，∴c2=4a2=a2+b2，得到b2=3a2．双曲线方程，可表示为3x2﹣y2=3a2． 设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为y=k（x+c），联立，化为（3﹣k2）x2﹣2k2cx﹣k2c2﹣3a2=0． ∵3﹣k2≠0，△＞0，∴，． ∴=（x1﹣a，y1）?（x2﹣a，y2）=（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=+k2（x1+c）（x2+c） =（1+k2）x1x2+（k2c﹣a）（x1+x2）+c2k2+a2 =++c2k2+a2 =+=0． ∴． ∴∠MAN=90°． 故选B． 7. 已知向量，满足||=，||=1，且对任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ=（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用． 【分析】由题意，当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，此时tanθ=，由此能求出tan2θ． 【解答】解：由平面向量加法的几何意义，只有当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，如图所示， 设或， 斜边大于直角边恒成立， 则不等式|+x|≥|+|恒成立， ∵向量，满足||=，||=1， ∴tanθ=﹣2， ∴tan2θ=． 故选：D． 另：将不等式|+x|≥|+|两边平方得到不等式|+x|2≥|+|2，展开整理得得，恒成立， 所以判别式，解得cosθ=，sinθ=，所以tanθ=﹣2，tan2θ=； 故选D． 【点评】本题考查tan2θ的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和数形结合思想的合理运用． 8. 已知为等差数列，，前项和，则公差 A.                   B.                C.            D. 参考答案： D 9. 已知实数x, y满足 ， 若x>0，则x的最小值为（　　 ） 　　A. 2　　 B.4　　 C.6　　 D.8 参考答案： 解析：当y=1时， ；　　当y≠1且y≠0时，由已知得 　　∴当y>1时 ≥4(当且仅当 时等号成立; 　　当y<1且y≠0时, ，不合题意　　于是可知这里x的最小值为4, 应选B 10. 执行如图的程序框图，则输出的S的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】根据程序框图的功能是求S=1?log34?log45?log56?log67?log78?log89判断终止程序运行的k值，利用对数换底公式求得S值． 【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1?log34，k=4； 第二次运行S=1?log34?log45，k=5； 第三次运行S=1?log34?log45?log56，k=6； … 直到k=9时，程序运行终止，此时S=1?log34?log45?log56?log67?log78?log89=， 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=                ． 参考答案： 12. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=DC=AB=2，点N是CD边上一动点，则?的最大值为           ． 参考答案： 8 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】以AB、AD所在直线分别为x、y，建立如图坐标系，求出相关点的坐标，即可求解?的表达式，确定最大值． 【解答】解：以AB、AD所在直线分别为x、y，建立如图坐标系，可得 A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2） N坐标为（x，2），（x∈[0，2]）， ?=（x，2）（4，0）=8x+2∈[2，8]． 则?的最大值为：8． 故答案为：8． 【点评】本题在一个直角三角形中求向量数量积的最大值，着重考查了直角梯形的性质、平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题． 13. 函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为　　． 参考答案： （0，1] 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案． 【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}， y′=x﹣=， 令≤0， 又由x＞0，则≤0?x2﹣1≤0，且x＞0； 解可得0＜x≤1， 即函数的单调递减区间为（0，1]， 故答案为（0，1] 14. 如右图所示的程序输出的结果是 _________ 参考答案： 1023 略 15. 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题： ①﹣3是函数y=f（x）的极值点； ②﹣1是函数y=f（x）的最小值点； ③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零； ④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增． 则正确命题的序号是　　． 参考答案： ①④ 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件． 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0 ∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确 则﹣3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确 ∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确 故答案为：①④ 16. 四个人进3个不同的房间，其中每个房间都不能空闲，则这四个人不同的住法种数是_______。 参考答案： 36 17. 若关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [，1） 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用． 【分析】由题意得到a＞0，解出二次不等式，根据解的区间端点范围可得a的范围． 【解答】解：关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中仅有4个整数解， ∴， 解得a＞0， 解不等式得﹣1＜x＜， 要使不等式的解集中仅有4个整数解， ∴3＜≤4， 解得≤a＜1， 故答案为：[，1）． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题10分）已知a,b,c是互不相等的实数，求证：由， ,确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点。 参考答案： 证明：（反证法）假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），            ………………2分 由， ,，得       ……4分  上述三个同向不等式相加得，                       … ……………6分   ，这与题设互不相等矛盾，                ………………8分 因此假设不成立，从而命题得证。                      ………………10分 略 19. 某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表： 分组 人数 平均成绩 标准差 正科级干部组 a 80 6 副科级干部组 b 70 4   （1）求a，b； （2）求这40名科级干部预测成绩的平均分和标准差s； （3）假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计：该区科级干部“党风廉政知识”预测成绩小于60分的约为多少人？ 附：若随机变量Z服从正态分布，则；；. 参考答案： （1）8,32；（2）72，6；（3）36. 【分析】 （1）首先求得样本容量与总体的比为，根据比