福建省厦门市巷西中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

福建省厦门市巷西中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线与平面成45°角，若直线在内的射影与内的直线成45°角，则与 所成的角是                      （    ）        A．30°                   B．45°                   C． 60°                 D．90° 参考答案： 答案：C 2. 已知集合,下列结论成立的是                           (　　） A．       B．   C．   D． 参考答案： D 3. 已知空间中两点，，且，则 A. 1或2          B. 1或4           C. 0或2           D. 2或4 参考答案： D 略 4. 如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出     的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 (A)             (B) (C)            (D) 参考答案： A 5. 已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为 A．    B．  C．      D． 参考答案： B 考点：独立事件与乘法公式 第一次检测出的是次品的概率为第二次检测出的是正品的概率为 所以第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为： 故答案为：B 6. 若关于x的方程在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（  ） A.[－4,0] B. (1,28] C. [－4,0)∪(1,28] D. [－4,0)∪(1,28) 参考答案： C 【分析】 设=，可得函数递增递减区间，由函数在区间上仅有一个零点，列出方程可得的取值范围. 【详解】解：设，可得， 令，可得，令，可得， 可得函数递增区间为，递减区间为， 由函数在区间上仅有一个零点，， ，若，则，显然不符合题意，故， 或， 可得或， 故选C. 【点睛】本题主要考察方程的根与函数的零点的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 7. 在中，若，则面积的最大值为 A．           B．            C．          D． 参考答案： C 略 8. 已知，为常数，且的最大值为2，则＝ A．2                                B．4                                C．                        D． 参考答案： C 当时，有，当且仅当时取等号。因为的最大值为2，所以，所以，选C. 9. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是     （A）若则　　　　（B）若则     （C）若则　　　　（D）若、与所成的角相等，则 参考答案： 答案：C 解析:对于平面和共面的直线、，真命题是“若则”，选C. 10. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： 则这500件产品质量指标值的样本中位数、平均数分别为（） A.200,198       B. 198,200        C. 200,200    D. 201,198 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数，在区间内围成图形的面积为            参考答案： 略 12. 如图，在三棱锥P - ABC中，∠CAB = 90°，PA = PB，D为AB中点，PD⊥平面ABC，PD = AB = 2，AC = 1．点M是棱PB上的一个动点，△MAC周长的最小值           . 参考答案： 13. 椭圆一个长轴的一个顶点为，以为直角顶点做一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积等于__________． 参考答案： 设内切于椭圆的等腰直角三角形为， 则，，直线， 可求得，，． 14. 已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记Sn=2﹣，Tm=S1+S2+…+Sm，若Tm＜11，则m的最大值为　　． 参考答案： 5 略 15. 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为         ． 参考答案： 略 16. 已知A，B是圆C1：x2+y2=1上的动点，AB=，P是圆 C2：(x－3)2+(y－4)2=1上的动点，则||的取值范围为　   ． 参考答案： [7，13] 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围． 【解答】解：取AB的中点C，则=2||，C的轨迹方程是x2+y2=，|C1C2|=5 由题意，||最大值为5+1+=，最小值为5﹣1﹣=． ∴的取值范围为[7，13]， 故答案为[7，13]． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键． 　 17. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是            。 参考答案：       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）?（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）． （1）求ω的值； （2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；转化思想；向量法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值； （2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求． 【解答】解：（1）f（x）=（+）?（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）． 由题意得：周期，故； （2）∵图象过点M（1，）， ∴﹣cos（2φ）=， 即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）． 当﹣1≤x≤1时，， ∴． ∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题． 19. （本小题满分12分） 已知函数    （I）求的值域；    （II）试画出函数在区间[-1，5]上的图象。   参考答案：   略 20. 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. (I）求C（）和的表达式； (II）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值. 参考答案： （I）当时，C=8，所以=40，故C       (II） 当且仅当时取得最小值. 即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. 21. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：   经常使用 偶尔或不用 合计 30岁及以下 70 30 100 30岁以上 60 40 100 合计 130 70 200   （Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数； （2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式：，其中. 参考数据：   P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案： （Ⅰ）由列联表可知， . ∵， ∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关. （Ⅱ）（1）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中， 经常使用共享单车的有（人）， 偶尔或不用共享单车的有（人）. （2）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为；偶尔或不用共享单车的2人分别为，则从5人中选出2人的所有可能结果为，共10种. 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 22. 设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点． （1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率； （2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞． 参考答案： 考点：圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率； （2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围． 解答： （1）解：设P（x0，y0），∴① ∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0） ∴， ∵直线AP与BP的斜率之积为，∴ 代入①并整理得 ∵y0≠0，∴a2=2b2 ∴ ∴ ∴椭圆的离心率为； （2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴ ∵a＞b＞0，kx0≠0，∴ ∴② ∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0）， ∴ ∴ ∴ 代入②得 ∴k2＞3 ∴直线OP的斜率k满足|k|＞． 点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．