重庆石柱民族中学校高三数学理月考试题含解析

重庆石柱民族中学校高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合等于（    ）   A．           B．{（0，1），（1，2）}   C．          D．   参考答案： D 略 2. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】利用捆绑法求出甲乙相邻的基本事件个数，同样利用捆绑法（甲在中间，乙丙可以交换）求出甲乙丙相邻的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解． 【解答】解：甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，甲，乙相邻的排法种数为（种）． 在甲，乙相邻的条件下，甲丙相邻的排法种数为（种）． 所以，甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为P=． 故选B． 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了利用捆绑法求排列数，是基础的计算题． 3. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=的最大值为2，则z的最小值为(     ) A． B． C． D．1 参考答案： C 考点：简单线性规划． 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用． 分析：作出约束条件，从而得z1=﹣，z2=﹣，z3=﹣；z4=﹣；故最大值为﹣=2，从而求得． 解答： 解：作出约束条件 ， 表示的可行域如右图的阴影部分所示， 阴影部分四边形四顶点为（0，0），（1，0），（2，3），（0，1）； 则z1=﹣，z2=﹣，z3=﹣；z4=﹣； 由条件知m＜0， 故﹣=2，则m=﹣6； 故z的最小值为． 故选C． 点评：本题考查了简单线性规划的应用，属于中档题． 4. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为 A.       B.     C.     D. 参考答案： D 设, 则， ，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D. 5. 已知直线中的是取自集合中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于，那么符合这些条件的直线共有 A. 17条       B. 13条         C. 11条        D. 8条 参考答案： 答案：A 6. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则         B．若，则       C. 若，，则      D．若，则 参考答案： C 7. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点（为坐标原点），则双曲线的方程为中学联盟8 (A)   (B) (C)   (D) 参考答案： A 8. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：，． 所以的虚部为．故D正确． 9. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则 A．             B．            C．              D． 参考答案： A 10. 用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（   ） A．     B．     C．     D． 参考答案： B 试题分析：时，左边为，时，左边为，可见左边添加的式子为．故选B． 考点：数学归纳法． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过抛物线的焦点，且被圆截得弦最长的直线的方程是_____________ 参考答案： x+y-1=0  略 12. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是     ▲    ． 参考答案： 13. 已知直线和圆心为C的圆相交于A，B两点，则线段AB的长度等于__________. 参考答案： 14. 展开式中常数为                    参考答案： -4 略 15. 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为　　． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． 【解答】解：由题意画出几何体的图形如图 由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=． 在RT△SHO中，OH=OC=OS ∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=Sh=××22×1=． 故答案是． 【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力． 16. 曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_________． 参考答案： 略 17. 已知函数则满足不等式的的范围是               参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，角，，所对应的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的面积. 参考答案： 19. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为． （Ⅰ）求角A和角B的大小； （Ⅱ）求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小； （Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc， ∴由余弦定理得：cosA==， ∵A为三角形内角， ∴A=， 由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=， 则B=； （Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=， 由余弦定理得AM2=x2+﹣2x??（﹣）=14， 解得：x=2， 则S△ABC=AC?BC?sinC=×2×2×=2． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 20. (本小题满分12分) 已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：． 参考答案： （Ⅰ）解：依题意，有 ，即…2分 解得………………………………………………………… 4分 ∴数列的通项公式为（）．……………………… 5分 （Ⅱ）证明：由（1）可得．……………………………… 6分 ∴…………… 7分 ∴………………… 8分 ∵是递减数列，且， ∴．∴  ………………………………… 10分 ∴．……………………………………………… 12分 21. 设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abc－be－ac－ab是不能表示为xbc＋yac＋zab形式的最大整数(其中x、y、z是非负整数)． 参考答案： 证明：熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使ax＋by＝n．当n＞ab－a－b时，首先取0≤x＜b(若x＞b则用x－b、y＋a代替x、y)，我们有 by＝n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a(b－1)＝－b 所以y＞－1也是非负整数．即n＞ab－a－b时，有非负整数x、y使ax＋by＝n． 因为a、b、c两两互素，所以(bc，ac，ab)＝1． 令(bc，ac)＝d．则(ab，d)＝1，所以方程 abz＋dt＝n                                        (1) 有整数解，并且0≤z＜d(若z＞d则用z－d、t＋ab代替z、t)． 设 bc＝da1，ac＝db1，那么(a1，b1)＝1．在n＞2abc－bc－ca－ab时， 即         t＞a1b1－a1－b1 从而方程  a1x＋b1y＝t                                          (2) 有非负整数解(x，y)． 由(1)与(2)消去t可得 bcx＋acy＋abz＝n 有非负整数解． 另一方面，若有非负整数x、y、z使 2abc－bc－ac－ah＝xbc＋yac＋zab 则                            bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc 于是应有，a整除bc(x＋1)，因(a，bc)＝1．所以，a整除x＋1，从而c≤x＋1．同理有，b≤y＋1，c≤z＋1．因此 3abc＝bca＋acb＋abc≤bc(x＋1) ＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc 由于a、b、c都是正整数，这是不可能的，故2abc－bc－ca－ab不能表成xbc＋yca＋zab(x、y、z为非负整数)的形式．     22. 如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面⊥底面，若、分别是、的中点． （Ⅰ）求证：∥底面； （Ⅱ）求证：⊥平面； （Ⅲ）求几何体的体积． 直，线面垂直的性质定理等可证，,代入数字，得到结果. 试题解析：（I）解：取的中点，连结，（如图）   参考答案： 详见解析