山东省淄博市沂源县综合中学高一数学理联考试题含解析

山东省淄博市沂源县综合中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是(     ) A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 参考答案： B 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围 解答：解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增 又∵f（x）是定义在R上的奇函数 根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 ∴f（x）在R上单调递增 ∵f（2﹣a2）＞f（a） ∴2﹣a2＞a 解不等式可得，﹣2＜a＜1 故选B 点评：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题 2. 函数f（x）=lnx+2x-6的零点一定位于区间 A.（1，2）      B.（2，3）      C.（3，4）      D.（4，5） 参考答案： B 3. 函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用图像可得A值，由周期性可得，代点可得值，可得函数解析式，代值计算可求。 【详解】解：由题意和图像可得，，，解得 ，代入点可得 结合可得， 故函数的解析式为 故选：C 【点睛】本题主要考查了由的部分图像确定其解析式，考查了正弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想。 4. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】； ； ． 故． 故选A． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． 5. 直线与圆的位置关系为（   ） A．相切       B．相离     C．直线过圆心   D．相交但直线不过圆心 参考答案： D 圆心到直线的距离为：，又圆心不在直线上，所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心。 6. 计算（     ）                                                       参考答案： C 略 7. 已知直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 参考答案： B 【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】利用直线与直线垂直的性质求解． 【解答】解：直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直， ∴=﹣1 解得a=2， 故选：B 8. 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】球内接多面体． 【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长． 【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于， 故选D． 9. 已知sin θ + cos θ =，θ∈( –，)，则θ的值等于（   ） （A）– arccos  （B）– arccos  （C）– arccos  （D）– arccos 参考答案： D 10. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： （1）如果不超过200元，则不给予优惠； （2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠； （3）如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（   ） A． 413．7元      B． 513．7元          C． 546．6元      D． 548．7元 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为　　，sinα=　　． 参考答案： ，﹣   【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值，可得sinα． 【解答】解：由题意可得x=﹣8m，y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=， cosα==﹣， 解得m=， ∴sinα=﹣． 故答案为：，﹣． 　 12. 在△ABC中，,其面积，则BC长为________. 参考答案： 49 【分析】 根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得. 【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 13. 已知等差数列的前n项和为，若． 则下列四个命题中真命题是      ▲      ．(填写序号) ⑴        ⑵      ⑶       ⑷ 参考答案： （1）（2）（4） 14. 设 (其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2013)＝－17，则f(2013)＝________． 参考答案： 31 略 15. 设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为　　． 参考答案： （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式． 【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减， ∴f（x）在（0，+∞）上递减， 由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0， 即f（2）=0， 由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得xf（x）＜0?或， 解得x＜﹣2或x＞2， ∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 16. 已知分段函数是偶函数，当时的解析式为，求这个函数在区间上的解析表达式。 参考答案： 17. 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C=　　． 参考答案： 45° 【考点】HS：余弦定理的应用． 【分析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C是△ABC的内角，可求得C的值． 【解答】解：由题意， ∵ ∴cosC=sinC ∵C是△ABC的内角 ∴C=45° 故答案为：45° 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）    已知函数 （1）求函数的定义域； （2）当时，求的取值范围； （3）写出函数的反函数及其定义域。 参考答案： 19. （本小题满分12分）在等差数列中，，．令，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）设数列的公差为，由得 解得，∴                              （2）∵ ∴                                           （3）由（1）知，，， 假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列， 则 ， 即            经化简，得 ∴ ∴ （*）                            当时，（*）式可化为 ，所以            当时， 又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解. 综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，. 20. 已知函数是偶函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ）由函数是偶函数，可知     ,  , 对一切 恒成立  ……………3分 （Ⅱ）函数与的图象有且只有一个公共点, 即方程有且只有一个实根, 化简得: 方程有且只有一个实根  ……………………4分 令,则方程有且只有一个正根,  ①,不合题意;  ……………………5分 ②若或；若,不合题意；若 ,符合题意  ③若方程一个正根与一个负根,即  ……………………7分 综上:实数的取值范围是  ……………………8分     略 21. 已知奇函数且)的定义域为． （1）求实数的值； （2）若，令,求实数的取值范围，使得在恒成立． 参考答案： 解（1）∵为奇函数，且定义域为R， ∴ ， 即，解得；……………4分 （2）∵，所以，解得（舍去负的） …………6分 令，∵，∴， 令……………8分 若，当则时，，解得； 若，当时，，解得，； 综上可知.………………12分     略 22. 已知数列{an}是等比数列，且公比为q，记Sn是数列{an}的前n项和. （1）若＝1，q＞1，求的值； （2）若首项，，t是正整数，满足不等式|t﹣63|＜62，且对于任意正整数n都成立，问：这样的数列{an}有几个？ 参考答案： （1）；（2）114 【分析】 （1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值； （2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解． 【详解】（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1， ， ， 则； （2） 满足不等式|﹣63|＜62，． ， ，且， ，得随着的增大而增大，得 ， 又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数， 满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列． 【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．