2022-2023学年辽宁省抚顺市第五十六中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年辽宁省抚顺市第五十六中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）=0，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为(     ) A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，+∞） 参考答案： A 由题意， ，所以 ，故选A。   2. 若，则的终边落在 (  ) A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限        D．第四象限 参考答案： C 3. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（　　） A．y=x+ B．y=2x﹣2﹣x C．y=log2|x| D．y=2x+2﹣x 参考答案： B 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】对4个选项，分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：对于A，是奇函数，在定义域内不是增函数，不正确； 对于B，在其定义域内是增函数而且又是奇函数，正确； 对于C，是偶函数，不正确； 对于D，在其定义域内是偶函数，不是增函数，不正确； 故选B． 4. 定义在R上的偶函数满足,且在[－3,－2]上是减函数.若是锐角三角形的两内角,则有(    ) A.       B. C.       D. 参考答案： A 5. 若 g (x)＝ , 则的值为  (   ) A. 1        B.  3         C.  15      D. 30 参考答案： C 略 6. 某研究小组在一项实验中获得一组关于、之间的数据，将其整理后得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是（    ）                参考答案： C 7. 在△ABC中，若3cos A＋4cos B＝6，4sin B 3sin A＝1，则角C为(　　 ) A．30°     B． 60°或120° C．120° D． 60° 参考答案： C 8. sin480°等于（ ） A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：因为，所以选D. 考点：诱导公式，特殊角的三角函数值. 9. 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由利用余弦定理，可得，利用正弦定理边化角，消去C，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界性，可得 【详解】因为，所以， 由余弦定理得：， 所以， 所以， 由正弦定理得，因为， 所以， 即， 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以或， 所以或（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以， 所以，则， 故选C. 【点睛】这是一道解三角形的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，诱导公式，正弦函数在某个区间上的值域问题，根据题中的条件，求角A的范围是解题的关键. 10. 已知的图象可由的图象向左平移个单位而得到，则 　A.　　B.      C.      D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y＝的定义域是_____________． 参考答案： 略 12. 已知是奇函数，当时，，则___________. 参考答案： 略 13. 函数的定义域是            ． 参考答案： 14. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是          ． 参考答案： 设圆锥的母线为，底面半径为则因此圆锥的高是   15. 已知，则的值为           参考答案： 6 16. 在下列结论中，正确的命题序号是            。    （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；    （2）模相等的两个平行向量是相等的向量；    （3）若和都是单位向量，则=；    （4）两个相等向量的模相等。 参考答案： （4） 略 17. 已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为____. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=lg（mx﹣2x）（0＜m＜1）． （1）当m=时，求f（x）的定义域． （2）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）将m=代入得到f（x）的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到f（x）的定义域； （2）将f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，等价为f（x）＞0在（﹣∞，﹣1]上恒成立，转化为f（x）min＞0，利用f（x）的单调性即可求出f（x）的最小值，从而列出不等式，求解即可得到m的取值范围． 【解答】解：（1）当m=时，f（x）=lg[（）x﹣2x]， ∴（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x， ∴﹣x＞x，即x＜0， ∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}； （2）设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1， ∴x2﹣x1＞0， 令g（x）=mx﹣2x， ∴g（x2）﹣g（x1）=mx2﹣2x2﹣mx1+2x1=mx2﹣mx1+2x1﹣2x2， ∵0＜m＜1，x1＜x2＜0， ∴mx2﹣mx1＜0，2x1﹣2x2＜0， ∴g（x2）﹣g（x1）＜0，即g（x2）＜g（x1）， ∴lg（g（x2））＜lg（g（x1））， ∴lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0， ∴f（x2）＜f（x1）， ∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是单调递减函数， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值为f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）， ∵f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，即f（x）＞0在（﹣∞，﹣1]上恒成立， ∴f（x）min＞0， ∴f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）＞0，即m﹣1﹣2﹣1＞1， ∴＞1+=， ∵0＜m＜1， ∴0＜m＜， 故m的取值范围为0＜m＜． 19. (本小题满分12分) 已知函数（） （1）   若，求实数的值并计算的值； （2）   若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）   当时，设，是否存在实数使为奇函数。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。   参考答案： （1）∵，∴，即，∴        ∴，∴     （2）∵，即， 亦即对任意的恒成立，设         ∵， ∴在时是增函数，所以         ∴即可。    （3）∵，∴         ∴        方法一： ∵是奇函数，且，∴       ∴，∴，即，所以。 当时，， ∵， ∴是奇函数。        故存在，使是奇函数。       方法二：       ∵是奇函数，∴，令       即       ∴       ∴，即，即，即。       方法三：【这种做法也给分】 当时，，        ∵，∴是奇函数。        所以存在，使是奇函数。 略 20. 已知函数（且）是奇函数． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若，，且在上的最小值为1，求实数的值． 参考答案： (Ⅰ) ∵是定义域为的奇函数，∴， ∴，∴。             …………4分           （Ⅱ）因为，所以 ， 令，因为在是增函数，所. 令， ①若，，不合题意； ②若，，解得，因为， 所以； ③若，解得，舍去 综上：.     …………10分 21. 设a，b为正数，且a－2ab－9b= 0，求lg(a＋ab－6b)－lg(a＋4ab＋15b)的值． 参考答案： 解析：由a－2ab－9b= 0，得()－2()－9 = 0， 令= x＞0，∴x－2x－9 = 0，解得x =1＋，(舍去负根)，且x= 2x＋9， ∴lg(a＋ab－6b)－lg(a＋4ab＋15b) = lg= lg= lg = lg= lg= lg= lg=－．   22. （本题满分12分） 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。 （1）求曲线的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。 ①以线段为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的值，若不能说明理由； ②求四边形面积的取值范围。 参考答案： （1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为． （4分）    （2）①设直线,，其坐标满足 消去并整理得，故． （6分） 以线段为直径的圆过能否过坐标原点，则，即． 而， 于是，化简得，所以． （8分） ②由①，， 将上式中的换为得， 由于,故四边形的面积为，（10分） 令，则， 而，故，故，当直线或的斜率有一个不存在时，另一个斜率为，不难验证此时四边形的面积为，故四边形面积的取值范围是． 略