2022年上海铭远双语高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2022年上海铭远双语高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，．分别求出满足下列条件的实数的取值范围． （Ⅰ）；   （Ⅱ）．[.Com] 参考答案： 略 2. 设函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（　　） A．周期函数，最小正周期为π B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为2π D．非周期函数 参考答案： A 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】根据正弦函数的图象与性质，结合绝对值的意义，即可得出结论． 【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，结合绝对值的意义知， 函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R）是周期函数，且最小正周期为π． 故选：A． 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A． 　   B．     C． 　 D． 参考答案： B 4. △ABC中，c是a与b的等差中项，sinA，sinB，sinC依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【分析】运用等差数列和等比数列的性质，结合正弦定理，可得a，b，c的关系，再由余弦定理计算即可得到所求值． 【解答】解：c是a与b的等差中项， 可得a+b=2c，① sinA，sinB，sinC依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和， 由等比数列的和的性质，可得 sinA，sinB﹣sinA，sinC﹣sinB成等比数列， 可得sinA（sinC﹣sinB）=（sinB﹣sinA）2， 由正弦定理可得sinA=，sinB=，sinC=， 代入，化简可得a（c﹣b）=（b﹣a）2，② 由①②可得 a（a+b﹣2b）=2（b﹣a）2， 化简可得a=b或a=2b， 若a=b，则a=b=c，由等比数列各项均不为0，可得a≠b； 则a=2b，c=b， 即有cosC===． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 5. 下列判断正确的是 (A)      (B)     (C)       (D) 参考答案： B 是单调递增函数，，所以，A不正确；是单调递减函数，，所以 ，B正确；，而 ，所以，C不正确； ，所以 ，D不正确，故选B.   6. 函数在[0,6]内至少出现3次最大值，则k的最小值为（    ） A.           B.          C.           D. 参考答案： A 函数（k＞0）在[0，6]内至少出现3次最大值，则k取最小值时， 函数（k＞0）在[0，6]内正好包含个周期， ∴，求得k=. 故答案为：A   7. 函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A.     B.    C.         D. 参考答案： C 略 8. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为(     ) A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可． 【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1， 则f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（2×12﹣1）=﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力． 9. 函数y = sin2x+cos2x的值域是． A．[-1，1]  B． [-2，2]        C．[-1，]     D．[-，] 参考答案： D 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 参考答案： B 【详解】因为， 所以，故选B. 点评：本题较简单，二倍角公式的考查 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为      ▲     . 参考答案： 略 12. 求值：__________。 参考答案：     解析： 13. 如果一个几何体的俯视图中有圆，则这个几何体中可能有　    　． 参考答案： 圆柱、圆台、圆锥、球 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】运用空间想象力并联系所学过的几何体列举得答案． 【解答】解：一个几何体的俯视图中有圆，则这个几何体中可能有：圆柱、圆台、圆锥、球． 故答案为：圆柱、圆台、圆锥、球． 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，考查学生的空间想象能力和思维能力，是基础题． 14. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是            ； 参考答案： 2； 略 15. 已知，则_______. 参考答案： 3 略 16. 化简__________． 参考答案： 原式 ． 17. 定义在R上的偶函数满足，且当时，则 等于         ． 参考答案： 2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 已知函数y= f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件： ①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数； ②存在闭区间[a，b]D(其中)，使得当时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y= f(x) ()是闭函数． (1)判断是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若是闭函数，求实数k的取值范围． （注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）   参考答案： 解：(1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①； 设存在区间，f(x)的取值集合也是，则， 解得a＝－1，b＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，              .………5分 使得f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数. (2) （法一）f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数， 由题意知，f(x)＝k＋是闭函数，存在区间满足② 即： .即a，b是方程k＋＝x的两根， 令 ，方程可变形为，该方程存在两相异实根满足 ，，解得， 所以实数的取值范围是.                            .………12分 （法二）图象求解也可.    19. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）． （1）求函数f（x）的表达式； （2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）由f（0）=0可得c=0，由函数对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x）可得函数f（x）的对称轴为x=﹣，从而可得a=b，由f（x）≥x，可得△=（b﹣1）2≤0，进而得到答案． （2）由（1）可得g（x）的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理进行判断函数g（x）的零点情况． 【解答】（1）解：∵f（0）=0，∴c=0． ∵对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x）， ∴函数f（x）的对称轴为x=﹣，即﹣=﹣，得a=b． 又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立， ∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0． ∵（b﹣1）2≥0， ∴b=1，a=1． ∴f（x）=x2+x． （2）解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|= ①当x≥时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为x=， 若≤，即0＜λ≤2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增； 则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增， 又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0， 故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点． ②若＞，即λ＞2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减． 此时＜＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（）=+＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|， （ⅰ）若2＜λ≤3，由于＜≤1， 且g（）=（）2+（1﹣λ）?+1=﹣+1≥0， 此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点； （ⅱ）若λ＞3，由于＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1） 上有两个不同的零点． 综上所述，当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点． 20. （本小题满分12分） 函数． (1) 讨论的奇偶性； (2) 若函数的图象经过点(2，), 求的值. 参考答案： 21. 已知集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3} （1）当a=2时，求A∪B （2）当B?A时，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算． 【分析】（1）当a=2时，求解集合B，根据集合的基本运算即可求A∪B； （2）根据B?A，建立条件关系即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3} 当a=2时，B={x|4≤x≤5} 故得A∪B={x|2≤x≤6}． （2）∵B?A， 当B=?时，满足题意，此时2a＞a+3，解得：a＞3； 当B≠?时，若B?A，则，解得：1≤a≤3； 综上可知，实数a的取值范围是[1，+∞） 22. 是否存在实数，使得的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 参考答案：    假设存在满足条件的.   ⅰ）当时，        令 ，得 （ 舍去）   ⅱ）当时，       令 ，得 （ 舍去）   ⅲ）当时，       令 ，得 （舍去） （舍去） 综上，存在 使得 的最大值为.      或