上海虹口区实验中学高一数学理月考试卷含解析

上海虹口区实验中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（  ）. A．　      B．　    C．　    D．　 参考答案： A 2. 已知f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]是减函数，若f（3）=0，则不等式的解集是（　　） A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（0，3） 参考答案： C 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集． 【解答】解：因为y=f（x）为偶函数，所以等价为＜0， 所以不等式等价为． 因为函数y=f（x）为偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，又f（3）=0， 所以f（x）在[0，+∞）是增函数，则对应的图象如图： 所以解得x＜﹣3或0＜x＜3， 即不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质，根据函数性质的综合应用，将不等式转化是解决本题的关键． 3. 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且，若侧菱SA=，则正三棱 S-ABC外接球的表面积为（    ） A．12            B．32             C．36             D．48 参考答案： C 4. 当时,函数的图象恒过定点，已知函数 ，若有两个零点，则k的取值范围为（    ） A. (－∞,－4] B. [－3,+∞) C. [－4,－3] D.(－3, +∞)∪{－4} 参考答案： D 【分析】 利用1的对数为0，求出定点，做出的图象，转化为与有两个交点时，的取值范围. 【详解】恒过， ，做出图象如下图示： 可得当时，与有两个交点， 即有两个零点，则的取值范围为. 故选:D. 【点睛】本题考查分段函数、函数的零点，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题. 5. 已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】9V：向量在几何中的应用；J8：直线与圆相交的性质． 【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论． 【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B， ∴ ∴4＞ ∴4＞ ∵k＞0，∴ 故选C． 6. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的为(   ) A.             B.               C.                 D.        参考答案： A 7. 若tanα<0,且sinα>cosα,则α在　(　　) A. 第一象限 B. 第二象限      C. 第三象限   D. 第四象限 参考答案： B 8. 已知无穷等差数列{a n}，前n项和S n 中，S 6 S 8 ,则              (  )    A．在数列{a n }中a7 最大；       B．在数列{a n }中,a 3 或a 4 最大；    C．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等；   D．当n≥8时，a n <0. 参考答案： D 略 9. 设M是 其中m、n、p分别是 的最小值是（      ） A．8                B．9            C．16           D．18 参考答案： D 略 10. （5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣ 参考答案： D 考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由α为第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值． 解答： ∵α是第四象限的角，若cosα=， ∴sinα=﹣=﹣， 则tanα==﹣， 故选：D． 点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则a的取值范围是___________． 参考答案： 略 12. 函数 的定义域为______. 参考答案： 或 13. 给出下列结论： （1）方程=l表示一条直线； （2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=2； （3）方程表示四个点。 其中正确结论的序号是________。 参考答案： （3） 【分析】 对三个结论逐一分析排除，由此得出正确结论的序号. 【详解】对于（1），由于，故不能表示一条直线.对于（2）正确的轨迹方程应该是.对于（3）依题意有，解得四个点的坐标，故结论（3）正确.综上所述，正确结论的序号为（3）. 【点睛】本小题主要考查方程表示的曲线，考查满足题意的轨迹方程，属于基础题. 14. 如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则=　 　． 参考答案： 16 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】对=||两边平方，得到关于t的二次不等式在（0，+∞）上恒成立，讨论判别式和根的范围列出不等式解出． 【解答】解：∵=||，∴﹣2t+t2≥﹣2+，∴8t2﹣t+﹣8≥0在（0，+∞）上恒成立， △=（）2﹣32（﹣8）=（﹣16）2≥0， 若△=0， =16，则8t2﹣t+﹣8≥0在R上恒成立，符合题意； 若△＞0，≠16，则8t2﹣t+﹣8=0的最大解x0=≤0． 当＞16时，x0=≤0，解得=8（舍去）． 当＜16时，x0=1，不符合题意． 综上， =16． 故答案为16． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数恒成立问题，属于中档题． 15. 对于函数 定义域中任意的 ，有如下结论： ① ； ② ； ③ ；④ ； 当 时，上述结论中正确结论的序号是      （写出全部正确结论的序号） 参考答案： ①③④ 16. 已知向量，且，则      ▲      ． 参考答案： 17. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 点在以为半径的圆弧上，如图所示，若其中,则________；________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点及圆. （1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.   参考答案： （Ⅰ）解：由于，而弦心距，所以. 所以为的中点.故以为直径的圆的方程为. （Ⅱ）解：把直线即．代入圆的方程，消去，整理得． 由于直线交圆于两点，故，即-4a>0，解得．则实数的取值范围是． 设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以． 由于， 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦   19. 函数，在上为奇函数． （）求，的值． （）判断函数在上的单调性．（只要结论，无需证明） （）求在上的最大值、最小值． 参考答案： 见解析 解：（）∵函数在上是奇函数， ∴，即， 解得：， 故，． （）∵在上是增函数， ∴在上是增函数． （）∵在上是增函数， ∴， ． 20. 已知实数x的取值范围为[0，10]，给出如图所示程序框图，输入一个数x． （1）请写出程序框图所表示的函数表达式； （2）当x∈N时，求输出的y（y＜5）的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图． 【分析】（1）先根据程序框图的条件结构，算法的流程根据条件是否成立而选择不同的流向，注意判断框内的条件，写出函数表达式； （2）确定基本事件的个数，即可求出概率． 【解答】解：（1）由已知可得，程序框图所表示的函数表达式是． （2）当y＜5时，若输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，所以0≤x＜4， 又因为x∈N，所以x取0，1，2，3时满足条件；若输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，所以0≤x＜6，不满足条件．所以输出的y（y＜5）时，x的取值是0，1，2，3，而x的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则使得输出的y（y＜5）的概率为． 21. (本小题满分14分) 四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD， E是PC的中点． （1）求证：PA∥平面BDE； （2）求证：BD⊥PC．   参考答案： 解：（1）连接， ，则经过正方形中心点， 由是的中点， 是的中点，得，…………………………… 3分 又平面， 平面，所以平面；……………… 7分 （2）由平面，得，………………………………………… 9分 又正方形对角线互相垂直，即，………………………………………… 11分 点， 平面， 所以平面，得．………………………………………… 14分   22. （14分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立． （1）求函数f（x）的表达式； （2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值； （3）设g（x）=kx+1，若G（x）=在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围． 参考答案： 考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）利用题意，推出混合组，求出a、b、c，即可求函数f（x）的表达式； （2）化简函数F（x）=g（x）﹣f（x）的表达式，通过对称轴所在位置，讨论即可求F（x）在[1，2]上的最小值 （3）通过化简表达式，在区间[1，2]上是增函数，转化F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上为增函数且恒非负，得到不等式组，即可求实数k的取值范围． 解答： （1）由题意知…（4分） （2）F（x）=g（x）﹣f（x）=﹣x2+（k﹣2）x，x∈[1，2]，对称轴 当，即k≤5时，F（x）max=F（2）=2k﹣8 当，即k＞5时，F（x）max=F（1）=k﹣3 综上所述，…（8分） （3）， 由G（x）在区间[1，2]上是增函数得F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上为增函数且恒非负 故…（10分） 点评： 本题考查函数恒成立问题的应用，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查计算能力．