湖南省邵阳市凝秀中学高一数学理联考试卷含解析

湖南省邵阳市凝秀中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（　　） A. {﹣1，1} B. {﹣2，0} C. {﹣2，0，2} D. {﹣2，﹣1，0，1} 参考答案： C 【分析】 利用交集直接求解． 【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}， A∩B＝{﹣2，0，2}． 故选：C． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 设全集，，则（    ） A．       B．      C．       D． 参考答案： D 3. 若函数，对任意实数x，都有，那么下列关系式成立的是（     ）． 　A．             B．       C．            D． 参考答案： A 略 4. 已知函数f（x）=，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，[﹣3?5]=﹣4，[1?2]=1，设n∈N*，定义函数fn（x）为：f1（x）=f（x），且fn（x）=f[fn﹣1（x）]（n≥2），有以下说法： ①函数y=的定义域为{x|≤x≤2}； ②设集合A={0，1，2}，B={x|f3（x）=x，x∈A}，则A=B； ③f2015（）+f2016（）=； ④若集合M={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，则M中至少包含有8个元素． 其中说法正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： D 【考点】分段函数的应用． 【专题】新定义；数形结合；分析法；函数的性质及应用；集合． 【分析】对于①，先根据定义域选择解析式来构造不等式，当0≤x≤1时，由2（1﹣x）≤x求解；当1＜x≤2时，由x﹣1≤x求解，取后两个结果取并集； 对于②，先求得f（0），f（1），f（2），再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再观察与自变量是否相等即可； 对于③，看问题有2015，2016求值，一定用到周期性，所以先求出几个，观察是以4为周期，求解即可； 对于④，结合①②③可得、0、1、2、、、、∈M，进而可得结论． 【解答】解：当0≤x＜1时，f（x）=2（1﹣x）； 当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1． 即有f（x）=， 画出y=f（x）在[0，2]的图象． 对于①，可得f（x）≤x，当1≤x≤2时，x﹣1≤x成立； 当0≤x＜1时，2（1﹣x）≤x，解得≤x＜1，即有定义域为{x|≤x≤2}，故①正确； 对于②，当x=0时，f3（0）=f[f2（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立； 当x=1时，f3（1）=f[f2（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立； 当x=2时，f3（2）=f[f2（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立； 即有A=B，故②正确； 对于③，f1（）=2（1﹣）=，f2（）=f（f（））=f（）=2（1﹣）=， f3（）=f（f2（））=f（）=﹣1=，f4（）=f（f3（））=f（）=2（1﹣）=， 一般地，f4k+r（）=fr（）（k，r∈N）． 即有f2015（）+f2016（）=f3（）+f4（）=+=，故③正确； 对于④，由（1）知，f（）=，∴fn（）=，则f12（）=，∴∈M． 由（2）知，对x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈M． 由（3）知，对x=、、、，恒有f12（x）=x，∴、、、∈M． 综上所述、0、1、2、、、、∈M． ∴M中至少含有8个元素．故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是分段函数及分段不等式的解法，元素与集合关系的判定，函数的周期性，函数恒成立问题，分段函数问题要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式． 5. 已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为Sn，若对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）时f（x）的最大值，由递推式可得{an}是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围． 【详解】当x∈[0，2）时，， 所以函数f(x)在[0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝； 1≤x<2时，f（x）的最大值为f（）＝1， 即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为,即首项， 由可得 可得{an}是首项为，公比为的等比数列， 可得Sn＝＝， 由Sn＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥． 故选：B． 【点睛】本题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 6. 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（　　） A．　　B．　      C．　　    D．     参考答案： C 7. 若集合中只有一个元素,则实数的值为 A.  0            B. 1          C. 0或1        D. 参考答案： C 略 8. 直角坐标系xOy中，已知点P(2﹣t，2t﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l：．若对任意的tR，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为 A. (0，2) B. (2，3) C. (，) D. (，3) 参考答案： C 【分析】 先求出点P的轨迹和直线l的方程，再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标. 【详解】设点P(x,y),所以 所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0. 对任意的tR，点P到直线l的距离为定值， 所以直线l的方程为2x+y=0. 设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9. 表示两个不同的平面，表示既不在内也不在内的直线，若以①②③中其中两个作为条件，第三个作为结论，构成的命题中正确个数为（    ） A    B     C  D 参考答案： C 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的值 A. B. C. 或 D. 或 参考答案： C 由题意得，在△ABC中， 根据余弦定理， 有意义，， 是△ABC的内角， 或 故选 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最小值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】7F：基本不等式． 【分析】由x2+y2+xy=1，可得（x+y）2=1+xy≤1+，即可得出． 【解答】解：由x2+y2+xy=1，可得（x+y）2=1+xy≤1+， 解得：x+y≥﹣，当且仅当x=y=﹣时取等号． 故答案为：﹣． 12. 在△ABC中，如果，那么                ． 参考答案： 略 13. 已知，则_______. 参考答案： 3 略 14. 直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是________________.__________ 参考答案： 或  略 15. 函数 的图象必经过点______. 参考答案： (2,-1) 16. 函数的定义域为       参考答案： 17. 对于△，有如下命题： ①若，则△为直角三角形； ②若，则△为直角三角形； ③若，则△为等腰三角形； ④若，则△为钝角三角形。 其中正确的命题的序号是_____________（把你认为正确的都填上）。 参考答案： ①④   www.k 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． （Ⅰ）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2018min时点P距离地面的高度； （Ⅱ）当离地面50+20m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？ 参考答案： 【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（Ⅰ）由题意求出A、h和ω的值，结合f（0）=10求得φ的值， 写出函数f（x）的解析式，计算t=2018时点P距离地面的高度即可； （Ⅱ）化简f（t），由f（t）＞50+20求出t的取值范围， 再由t的区间端点值的差求得一圈中可以看到公园全貌的时间． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，A=40，h=50，T=3， ∴ω==； 又f（0）=10， ∴φ=﹣； ∴f（t）=40sin（t﹣）+50（t≥0）； ∴f+50=40sin+50=70， 即第2018min时点P所在位置的高度为70m； （Ⅱ）由（1）知，f（t）=40sin（t﹣）+50=50﹣40cos（t）（t≥0）； 依题意：f（t）＞50+20， ∴﹣40cos（t）＞20， ∴cos（t）＜﹣， 解得2kπ+＜t＜2kπ+，k∈N， 即3k+＜t＜3k+，k∈N； ∵（3k+）﹣（3k+）=， ∴转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌． 19. （10分）已知f（x）=﹣3x2+a（5﹣a）x+b． （1）当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值； （2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围． 参考答案： 考点： 一元二次不等式的解法；函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： （1）由已知，﹣1，3是﹣3x2+a（5﹣a）x+b=0两解． （2）由f（2）＜0，即2a2﹣10a+（12﹣b）＞0，分离参数b求解． 解答： 16解由已知，﹣1，3是﹣3x2+a（5﹣a）x+b=0两解． ∴…3分 ∴或…5分 （Ⅱ）由f（2）＜0，即2a2﹣10a+（12﹣b）＞0…8分 即b＜2a2﹣10a+12=2（a﹣）2﹣ ∴恒成立∴故实数b的取值范围为…10分． 点评： 本题考查二次函数与二次不等式的知识，属于基础题． 20. （本小题满分12分）设等比数列满足：，，且. （I）求数列的通项； （II）设，求数列的前n项和. 参考答案： （Ⅰ）∵等比数列{an}满足：a1=，a2+a3=，且an＞0． ∴，且q＞0， 解得q=， ∴an==（）n． （Ⅱ）∵bn==n?3n， ∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，① 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，② ①﹣②，得：﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1 =﹣n?3n+1， ∴Sn=+（）?3n+1． 21. 腾讯公司2005年8月15日推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，设 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32