2022-2023学年湖南省永州市十四中学高一数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省永州市十四中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） 　 A． |a|＞|b| B． ＜ C． a2＜b2 D． ＜ 参考答案： D 2. 已知圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，则l的方程为（） A. 3x-4y+20=0       B. 4x-3y+15=0     C.3x-4y+20=0或x=0   D.   3x-4y+20=0 或 4x-3y+15=0        参考答案： C 3. 函数(  ) A      B       C        D 参考答案： B 略 4. （5分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（） A． 1 B． 4 C． 3 D． 不确定 参考答案： C 考点： 三点共线． 专题： 计算题． 分析： 三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，由AB的斜率和AC的斜率相等，求出实数a的值． 解答： ∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上， ∴AB的斜率和AC的斜率相等， 即 =， ∴a=3， 故选 C． 点评： 本题考查三点共线的性质，当三点共线时，任意两点连线的斜率都相等． 5. 已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=ax+b的图象必定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： A 【分析】先考查 y=ax的图象特征，f（x）=ax+b 的图象可看成把 y=ax的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，即可得到 f（x）=ax+b 的图象特征． 【解答】解：∵0＜a＜1，b＜﹣1， ∴y=ax的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1）， f（x）=ax+b 的图象可看成把 y=ax的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的， 故函数f（x）=ax+b的图象 经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点评】本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想． 6. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： B 考点：直线的两点式方程． 专题：计算题． 分析：由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案． 解答： 解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1）， 则BC的中点D的坐标为（2，1，4） 则AD即为△ABC中BC边上的中线 ∵|AD|==3 故选B 点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键． 7. 设f（x）=，则f（5）的值是（　　） A．24 B．21 C．18 D．16 参考答案： A 【考点】函数的值．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】由已知条件利用函数的性质得f（5）=f（f（10））=f（f（f（15））），由分段函数即可得到． 【解答】解：f（x）=， f（5）=f（f（10））=f（f（f（（15）））=f（f（18））=f（21）=21+3=24． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，注意函数性质的合理运用． 8. 按如下左图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x的取值范围是    (      ) A．(28，57     B．(28，57)      C．[28，57     D．[28，57] 参考答案： A 9. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β C．若α⊥β，m⊥β，则m∥α D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】A选项m∥n，m∥α，则n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断； B选项α⊥β，m∥α，则m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断； C选项α⊥β，m⊥β，则m∥α可由线面的位置关系进行判断； D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断； 【解答】解：A选项不正确，因为n?α是可能的； B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m?β都是可能的； C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m?α； D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的． 故选D 　 10. 计算的值（    ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调递减区间是               . 参考答案： 略 12. 函数的定义域 为          ．   参考答案： 13. 如果如果，且，则＋…＋=______________． 参考答案： 略 14. （5分）将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可售出100个，若这种商品的销售价每个涨价1元，则日销售量就减少10个，为获取最大利润，此商品的当日销售价应定为每个      元． 参考答案： 14 考点： 函数的最值及其几何意义． 分析： 根据已知的数量关系，合理列出方程，借助二次函数的性质进行求解． 解答： 设此商品的当日售价应定为每个x元， 则利润y=（x﹣8）?[100﹣（x﹣10）×10]=﹣10（x﹣14）2+360， ∴x=14时最大利润y=360． 即为获取最大利润，此商品的当日销售价应定为每个14元． 故答案为：14． 点评： 建立二次函数求解是解决这类问题的有效途径． 15. 已知上的最大值比最小值多1， 则a＝__________。 参考答案： 略 16. 设，则的值域是           参考答案： 解析：　。令，则 。因此 。 即得 17. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________. 参考答案： 0 【分析】 将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案. 【详解】如图所示： 将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为 或 故答案为0   【点睛】本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=4﹣x2 （1）试判断函数f（x）的奇偶性并说明理由； （2）用定义证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）先求出函数的定义域，求出f（﹣x），判断出f（﹣x）与f（x）的关系，利用奇函数偶函数的定义判断出f（x）的奇偶性； （2）设出定义域中的两个自变量，求出两个函数值的差，将差变形，判断出差的符号，据函数单调性的定义判断出函数的单调性． 解：（1）f（x）的定义域为R， 又∵f（﹣x）=[4﹣（﹣x）2]=4﹣x2=f（x）， ∴f（x）在R内是偶函数． （2）设x1，x2∈R，0＜x1＜x2 ∵f（x1）﹣f（x2）=（4﹣x12）﹣（4﹣x22）=x22﹣x12=（x2+x1）（x2﹣x1） 又x1，x2∈R，0＜x1＜x2， ∴（x2+x1）＞0，（x2﹣x1）＞0 ∵f（x1）﹣f（x2）＞0， 所以函数f（x）在[0，+∞）是减函数． 【点评】判断函数的奇偶性应该先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数不具有奇偶性，若对称，再检验f（﹣x）与f（x）的关系；利用单调性的定义判断函数的单调性一定要将函数值的差变形到能判断出符号为止． 19. 汽车和自行车分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向（两方向垂直）匀速前进，汽车和自行车的速度分别是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米。（汽车开到C地即停止） （1）经过秒后，汽车到达B处，自行车到达D处，设B、D间距离为，写出关于的函数关系式，并求出定义域。 （2）经过多少时间后，汽车和自行车之间的距离最短？最短距离是多少？ 参考答案： 解：（1）经过t小时后，汽车到达B处、自行车到达D处，则 ·1  所以   定义域为： （2）       当时， 答：经过8秒后，汽车和自行车之间的距离最短。最短距离是米。 20. 已知向量，其中 （1）若。求函数的最小值及相应x的值；（2）若的夹角为，且，求的值。 参考答案： …………………………14分 ……………16分 21. （本题满分12分）  某篮球联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐。采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，同时比赛结束。在每场比赛中，两队获胜的概率相等。根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入32万元，两队决出胜负后，问： (1)组织者在此次决赛中，获门票收入为128万元的概率是多少？ (2)设组织者在此次决赛中获门票收入为，求的分布列及。 参考答案： 略 22. （10分）已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD． 参考答案： 考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 证明题． 分析： 先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD． 解答： 证明：∵EH∥FG，EH?面BCD，FG?面BCD ∴EH∥面BCD， 又∵EH?面ABD，面BCD∩面ABD=BD， ∴EH∥BD 点评： 本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．