2022-2023学年湖北省武汉市鲁巷中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖北省武汉市鲁巷中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合,,则---（    ） A.          B.          C.         D. 参考答案： A 略 2. 在四边形ABCD中，若则（     ）   A. ABCD为矩形 B. ABCD是菱形 C. ABCD是正方形 D. ABCD是平行四边形 参考答案： D 略 3. 在△OAB中,已知,,,P是△OAB所在平面内一点,若,满足,且,则在上投影的取值范围是(    ) A．         B．       C.          D． 参考答案： A   4. 函数的图象是（    ） 参考答案： D 5. cos555°的值是（　　） A． +B．﹣（+）C．﹣D．﹣ 参考答案： B 【考点】诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数． 【分析】由于555°=360°+195°，195°=180°+15°，利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求得cos555°的值． 【解答】解：∵cos555° =cos =cos195° =﹣cos15° =﹣cos（45°﹣30°） =﹣?﹣? =﹣． 故选B． 6. 在右图的正方体中，M．N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为     (     )      A．30° B．45°         C．60° D．90°  参考答案： C 略 7. 若把函数的图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移1个单位，然后 再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数 的图象，则的解析式为   A.           B.      C.          D.      参考答案： B 8. 已知为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（    ） A．        B．   C．        D． 参考答案： C        9. 下列命题正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 参考答案： D 【分析】 利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误。 【详解】对于A选项，当时，，A选项错误； 对于B选项，取，，，，则，，不成立，B选项错误； 对于C选项，取，，，，则，，不成立，C选项错误； 对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确. 故选：D。 【点睛】本题考查不等式有关命题的判断，常用不等式的基本性质以及特殊值法去检验，考查逻辑推理能力，属于基础题。 10. （4分）斜率为3，在y轴上的截距为4的直线方程是（） A． 3x﹣y+4=0 B． x﹣3y﹣12=0 C． 3x﹣y﹣4=0 D． 3x﹣y﹣12=0 参考答案： A 考点： 直线的斜截式方程． 专题： 直线与圆． 分析： 利用斜截式即可得出． 解答： 解：利用斜截式可得y=3x+4，即3x﹣y+4=0． 故选：A． 点评： 本题考查了斜截式方程，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的定义域为________ .    参考答案： 略 12. 已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是      ． 参考答案： （0，1） 【考点】指数函数的图像变换． 【专题】计算题；作图题． 【分析】画出函数f（x）=|2x﹣1|的图象，根据图象即可得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点时，a的取值范围． 【解答】解：f（x）=|2x﹣1|的图象如下图所示： 由图可知：当0＜a＜1时，函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点， 故答案为：（0，1） 【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据指数函数的图象及函数图象的变换法则，得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象，数形结合即可得到答案． 13. 下列四个命题: （1）两个单位向量一定相等      （2）若与不共线，则与都是非零向量 （3）零向量没有方向            （4）两个相等的向量起点、终点一定都相同 正确的有：          （填序号） 参考答案： (2) 14. 过点（0，1）的直线与x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为　． 参考答案： 　2 【考点】两点间的距离公式． 【分析】计算弦心距，再求半弦长，由此能得出结论． 【解答】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2， ∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1， ∴点（0，1）在圆内． 如图，|AB|最小时，弦心距最大为1， ∴|AB|min=2=2． 故答案为：2． 15. 设集合A={x|﹣1≤x≤4}，集合B={x|1≤x≤5}则A∩B=         ． 参考答案： {x|1≤x≤4} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】观察两个集合，形式已得到化简，依据交集定义求出两个集合的公共部分． 【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤4}，集合B={x|1≤x≤5}， ∴A∩B={x|1≤x≤4} 故答案为：{x|1≤x≤4}． 【点评】本题考查交集及其运算，解题的关键是掌握理解好交集的定义，并能根据定义求出两个集合的交集． 16. 设，若,则实数的取值范围是          。 参考答案： 17. 若正实数a，b满足，则的最小值是________. 参考答案： 【分析】 将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值. 【详解】由得，所以.当且仅当，即时等号成立. 故填：. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，，求△ABC的面积的最大值． 参考答案： (1) , (2) 【分析】 （1）利用二倍角公式、辅助角公式进行化简,，然后根据单调区间对应的的公式求解单调区间；（2）根据计算出的值，再利用余弦定理计算出的最大值则可求面积的最大值，注意不等式取等号条件. 【详解】解:（1） ∴函数的单调递增区间为, （2）由（1）知得（舍）或 ∴有余弦定理得 即 ∴当且仅当时取等号 ∴ 【点睛】（1）辅助角公式：； （2）三角形中，已知一边及其对应角时，若要求解面积最大值，在未给定三角形形状时，可选用余弦定理求解更方便，若是给定三角形形状，这时选用正弦定理并需要对角的范围作出判断. 19. 已知线段PQ的端点Q的坐标为（﹣2，3），端点P在圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=4上运动． （Ⅰ）求线段PQ中点M的轨迹E的方程； （Ⅱ）若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），利用中点坐标公式，转化为P的坐标，代入圆的方程求解即可． （Ⅱ）设Q（﹣2，3）关于x轴对称点Q'（﹣2，﹣3）设过Q'（﹣2，﹣3）的直线?：y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式化简求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0）， 则代入 轨迹E的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1； （Ⅱ）设Q（﹣2，3）关于x轴对称点Q'（﹣2，﹣3） 设过Q'（﹣2，﹣3）的直线?：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0 ∵， （5k﹣5）2=k2+125（k2﹣2k+1）=k2+124k2﹣50k+24=0， （3k﹣4）（4k﹣3）=0， ∴或， ∴反射光线所在 y+3=(x+2)， 即4x﹣3y﹣1=0 y+3=(x+2)， 即3x﹣4y﹣6=0． 20. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示． （Ⅰ）求直方图中x的值； （Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数； （Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？ 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值． （Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数． （Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数． 【解答】（本小题10分） 解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得 （0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1 得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．… （Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．… 因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内， 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．… （Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户， 月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户， 月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，… 抽取比例==， 所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．… 　 21. 某企业需要建造一个容积为8立方米，深度为2米的无盖长方体水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底造价为每平方米300元，设水池底面一边长为x米，水池总造价为y元，求y关于x的函数关系式，并求出水池的最低造价. 参考答案： ，最低造价为2800元 【分析】 根据已知条件可设底面一边长为米，则另一边长为米，蓄水池的总造价为，再由均值不等式求得最值即可. 【详解】由于长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米， 因此其底面积为4平方米， 设底面一边长为米，则另一边长为米， 又因为池壁的造价为每平方米100元， 而池壁的面积为平方米， 因此池壁的总造价为， 而池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，因此池底的总造价为1200元， 故蓄水池的总造价为. 由函数 当且仅当，即时，函数有最小值，此时总造价最低. 【点睛】这个题目考查了函数的实际应用，解决这类问题，主要先读懂题意，将实际问题转化为函数模型，利用数学知识解决问题. 22. 已知数列中.关于的方程有唯一解．    （1）求数列的通项公式；    （2）设,求数列的前项和；    （3）设，求证:． 参考答案： 解析：（1）设，显然是偶函数． 关于的方程有唯一解， 是方程的唯一解， ，即． ，，．               （2）