2022-2023学年江西省宜春市双塘中学高一数学理联考试题含解析

2022-2023学年江西省宜春市双塘中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则的值 （    ） A．2    B．2或0    C．4    D．4或0 参考答案： D 略 2. 函数 (a>0，且a≠1)的图象必经过点(　  　 ) A．(0,1)  B．(1,1)   C．(2,2)  D．(2,3) 参考答案： D 略 3. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则在R上f（x）的表达式是(     ) A．﹣x（x﹣2） B．x（|x|﹣2） C．|x|（x﹣2） D．|x|（|x|﹣2） 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的性质；函数的表示方法． 【分析】设x＜0，则﹣x＞0，利用当x≥0时f（x）的解析式，求出f（﹣x）的解析式，再利用奇函数的定义，求出x＜0时的解析式，综合在一起，可得在R上f（x）的表达式． 【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0， ∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x， ∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x， 又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴﹣f（x）=x2+2x， ∴f（x）=﹣x2﹣2x， 故则在R上f（x）的表达式是 x（|x|﹣2）， 故选B． 【点评】本题考查利用奇函数的定义求函数的解析式的方法． 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为(     ) A.         B.         C.        D. 参考答案： A 5. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．9B．10C．11D． 参考答案： C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上， 截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案． 【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上， 截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1， 所以V=4×3﹣1=11． 故选：C 6. 已知，则      （     ）     A．               B．               C．             D． 参考答案： C 略 7. 已知=,,则为（   ） A           B                   C                D   参考答案： A     8. 已知是第二象限角，则化简为（       ） A．   B.   C.   D. 参考答案： B 9. 已知函数，则函数（     ） A．是奇函数，且在上是减函数      B．是偶函数，且在上是减函数         C．是奇函数，且在上是增函数      D．是偶函数，且在上是增函数 参考答案： C 略 10. 已知集合，，且，，则下列判断不正确的是 A．       B．      C．       D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设两个非零向量,,若向量与的夹角为锐角,则实数的取值范围是     . 参考答案： 12. 函数的最小正周期为___________. 参考答案： 13. ．设集合，集合，则=______. 参考答案： 略 14. 函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为     ． 参考答案： 或 【考点】指数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）=， 解得a的值，综合可得结论． 【解答】解：由题意可得： ∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增， ∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=． ∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减， ∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=． 综上可得，a=，或 a=． 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 15. 若f（x）=x2﹣，则满足f（x）＜0的x取值范围是　   　． 参考答案： （0，1）   【考点】其他不等式的解法． 【分析】f（x）＜0即为x2＜，由于x=0不成立，则x＞0，考虑平方法，再由幂函数的单调性，即可得到解集． 【解答】解：f（x）＜0即为x2＜， 由于x=0不成立，则x＞0， 再由两边平方得，x4＜x， 即为x3＜1解得x＜1，则0＜x＜1， 故解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查不等式的解法，注意函数的定义域，运用函数的单调性解题，属于基础题． 　 16. 已知，，那么______________。 参考答案： 8 17. 已知数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为记数列的前项和为，则        ；             .      参考答案：   36;         3983.     略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，长方体中，，，， （1）求异面直线和所成的角； （2）求证：直线平面． 参考答案： （1）异面直线和所成的角为．（2）证明见解析． （1）解：∵长方体中，， ∴是异面直线和所成的角， ∵长方体中，，，，， ∴，∴，∴异面直线和所成的角为． （2）解：证明：连结， ∵长方体中，， 又平面，平面，∴直线平面． 19. 设函数． （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期； （2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若，，C为锐角，求sinA． 参考答案： （1），； （2）． （1） .................4分   当，即时，. 最小正周期..................6分 （2）由（1）得，得. 因为角C为锐角，所以.................8分 由，得，..............10分 所以 .....................12分 20. 已知定义域为的函数是奇函数； （1）求实数的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）为奇函数，此时有，解得； …………………………………………………………（4分） （2）由（1）知： 任取，则 即 为减函数；……………………………………………………………………………（8分） （3）由（2）知：为减函数； 时，，；故 关于的方程在上有解，所以只需要……………（12分）   略 21. 如图所示,函数的图象与y轴交于点,且该函数的最小正周期为π. (1)求和的值； (2)已知点,点P是该函数图象上一点,点是PA的中点,当时，求的值. 参考答案： (1)..(2)，或. 试题分析： (1)由三角函数图象与轴交于点可得，则.由最小正周期公式可得. (2)由题意结合中点坐标公式可得点的坐标为.代入三角函数式可得，结合角的范围求解三角方程可得，或. 试题解析： (1)将代入函数中，得， 因为，所以. 由已知，且，得. (2)因为点是的中点， ，所以点的坐标为. 又因为点在的图象上，且， 所以，且， 从而得，或，即，或. 22. （本小题满分12分）已知数列是等差数列，且    （1）求数列的通项公式；    （2）令，求数列的前n项和. 参考答案： 解：（1）解：设数列公差为，则 又，所以 （2）解：由得     ①  ②     将①式减去②式，得     所以   略