江西省九江市涌泉中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析

江西省九江市涌泉中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（0，] C．[，1） D．[，+∞） 参考答案： C 【考点】分段函数的应用． 【分析】根据题意可得列出不等式组，从而可求得a的取值范围． 【解答】解：∵函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数， ∴，解得≤a＜1． 故选：C． 【点评】本题考查函数单调性的性质，得到不等式组是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于中档题． 　 2. 若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-14）共线，则（  ） A、x=-1             B、x=3              C、x=4          D、x=51 参考答案： C 略 3. 若且,则在(   ) A. 第一象限 B.第二象限      C.第三象限 D.第四象限 参考答案： B ∵，∴在第二象限或第四象限 ∵,∴在第一、二象限或y轴的正半轴， ∴在第二象限 故选：B   4. 已知集合M= ，集合 e为自然对数的底数），则=（   ） A．         B．        C． D． 参考答案： C 5. （5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A． 10 B． 20 C． 30 D． 40 参考答案： B 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 解答： 解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52， 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10， 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD， 四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4=20． 故选B 点评： 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半． 6. 设函数f ( x ) = ( x – 1 ) 2 + n（x∈[ – 1，3 ]，n∈N）的最小值为a n，最大值为b n，记C n = b– 2 a n，则数列{ C n }（    ） （A）是公差不为零的等差数列 （B）是公比不为1的等比数列 （C）是常数数列             （D）不是等差数列也不是等比数列   参考答案： D 7. 已知直线：与：平行，则k的值是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 8. 数列{an}的通项为an=2n﹣1，n∈N*，其前n项和为Sn，则使Sn＞48成立的n的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 参考答案： A 【考点】85：等差数列的前n项和． 【分析】由an=2n﹣1可得数列{an}为等差数列，然后根据等差数列的求和公式求出Sn，结合不等式可求n的值． 【解答】解：由an=2n﹣1可得数列{an}为等差数列 ∴a1=1 ∴=n2＞48 ∵n∈N* ∴使Sn＞48成立的n的最小值为n=7 故选A． 9. 大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（    ） A. 200 B. 180 C. 128 D. 162 参考答案： A 【分析】 由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：，即可得出． 【详解】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：，则此数列第20项＝2×102＝200． 故选：A． 【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，属于基础题． 10. 在下列四个函数中，在区间上为增函数，且以为最小正周期的偶函数是（   ） A、y=tanx                B、y=sin|x|                  C、y=cos2x                D、y=|sinx| 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合，，则        . 参考答案： {2} 12. 已知，，则值为________________. 参考答案： 因为，，所以，所以 13. 已知向量，若，则λ=　　． 参考答案： ﹣6 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据向量垂直的条件得到=2×3+1×λ=0，解得即可． 【解答】解：∵向量，， ∴=2×3+1×λ=0， ∴λ=﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了向量垂直的条件和向量的数量积的运算，属于基础题． 14. 已知，则_________． 参考答案： 2 ∵ ∴ ， ∴ 故答案为：2   15. 函数的最小正周期=________ 参考答案： π 16. 二次函数f(x) 满足 f(2+x)= f(2－x),又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥ f(0),  那么实数 a 的取值范围是_______________. 参考答案： 17. 已知,则__________ 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q． ①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？ ②是否存在这样的点P，使为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0）， ∴， 解得：， ∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．--------------4分   ②解：当∠OQA=90°时， 设PQ与x轴交于点D． ∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°， ∴∠OQD=∠QAD． 又∵∠ODQ=∠QDA=90°， ∴△ODQ∽△QDA． ∴，即DQ2=OD?DA． ∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），即10x2﹣39x+36=0， ∴x1=，x2=，∴y1=×（）2﹣+2=； y2=×（）2﹣+2=； ∴P（，）或P（，）． ∴所求的点P的坐标是P（，）或P（，）．--------------13分 19. 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的伦敦奥运会会徽—“2012”和奥运会吉祥物—“文洛克”．该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会会徽需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会会徽每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？ 参考答案： 设该厂每月生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，由题意得 将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元． 答：该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为20套，24套时月利润最大，最大利润为42800元． 20. 设集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，若A∩B={2}，求A∪B． 参考答案： 【考点】并集及其运算；交集及其运算． 【分析】由A∩B={2}，求出a=2，b=﹣4，由此分别求出集合A，B，由此能求出A∪B． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，A∩B={2}， ∴，解得a=2，b=﹣4， ∴A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}， B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}， ∴A∪B={﹣2，1，2}． 21. (本题满分10分) 设函数（其中），区间. （Ⅰ）定义区间的长度为，求区间的长度； （Ⅱ）把区间的长度记作数列，令， （1）求数列的前项和； （2）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由. 参考答案： （Ⅰ）由，得，解得，  即，所以区间的长度为；        …………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 .                            （1）∵ ∴                                     …………6分 （2）由（1）知，，， 假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，则 ， 即 , 经化简得. ∴      ∴ （*） 当时，（*）式可化为 ，所以.  当时，. 又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解. 综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.   …………10分 22.   已知，试求： (1)若，求的值： (2)求的值． 参考答案：