2022年四川省资阳市安岳石羊中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
参考答案：
C
考点： 两圆的公切线条数及方程的确定．
专题： 直线与圆．
分析： 分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．
解答： ∵圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0的圆心C1（﹣2，﹣2），半径r1=2，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的圆心C2（2，1），半径r2=3，
|C1C2|==5，
∵|C1C2|＜r1+r2，
∴圆C1：x2+y2+4x﹣4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣10y+13=0相外切，
∴圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为3条．
故选：C．
点评： 本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．
2. 已知函数f（x）=2log22x﹣4λlog2x﹣1在x∈[1，2]上的最小值是﹣，则实数λ的值为（ ）
A．λ=﹣1 B．λ= C．λ= D．λ=
参考答案：
B
【考点】函数的最值及其几何意义；对数的运算性质．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】可设t=log2x（0≤t≤1），即有g（t）=2t2﹣4λt﹣1在[0，1]上的最小值是﹣，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，运用单调性可得最小值，解方程可得所求值．
【解答】解：可设t=log2x（0≤t≤1），
即有g（t）=2t2﹣4λt﹣1在[0，1]上的最小值是﹣，
对称轴为t=λ，
①当λ≤0时，[0，1]为增区间，即有g（0）为最小值，且为﹣1，不成立；
②当λ≥1时，[0，1]为减区间，即有g（1）为最小值，
且为1﹣4λ=﹣，解得λ=，不成立；
③当0＜λ＜1时，[0，λ）为减区间，（λ，1）为增区间，
即有g（λ）取得最小值，且为2λ2﹣4λ2﹣1=﹣，解得λ=（负的舍去）．
综上可得，．
故选B．
【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数的单调性，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．
3. 下列哪个函数是其定义域上的偶函数（ ▲ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
4. 在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（ ）
A． =（0，0），=（1，2） B． =（﹣1，2），=（5，﹣2）
C． =（3，5），=（6，10） D． =（2，﹣3），=（﹣2，3）
参考答案：
B
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．
【解答】解：根据，
选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；
选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．
选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．
选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．
5. 的值是
A. B. C. D.
参考答案：
C
6. 将函数的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（ ）
A B
C D
参考答案：
B
7. 若α、β的终边关于y对称，则下列等式正确的是( )
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.cotα=cotβ
参考答案：
A
8. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）
A．i>10 B．i<10 C．i>20 D．i<20
参考答案：
A
9. 在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
参考答案：
C
10. 如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是
A．＋＝－ B．＋＝
C．＝＋ D．－＝＋
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知过点P的直线与两坐标轴正半轴交于点，则直线与坐标轴围成的三角形面积最小值为 。
参考答案：
8
12. 已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 。
参考答案：
(0,1)
13. 已知=（x+1，2），=（4，﹣7），且与的夹角为锐角，则x的取值范围为 ．
参考答案：
（，+∞）
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】令＞0即可解出x的范围，再排除掉共线的情况即可．
【解答】解：若，则8+7（x+1）=0，∴x=﹣，
∵与的夹角为锐角，
∴x≠﹣．
=4（x+1）﹣14=4x﹣10，
∵与的夹角为锐角，
∴＞0，即4x﹣10＞0，
∴x＞，
故答案为（，+∞）．
14. 等比数列，已知，且公比为正整数，则数列的前项和 ＊＊＊ ．
参考答案：
15. 给出下面四个命题：①；； ②；
③ ； ④。
其中正确的是____________．
参考答案：
① ②
略
16. 幂函数y=f(x)的图像经过点(，2)，则f(x)=__________。
参考答案：
解析：设f(x)=xk，∴，∴=，∴。
17. 若，则的表达式为 ▲ ．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求证：
参考答案：
证明：
19. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1．
（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；
（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．
【分析】（I）a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），可得a2=8．利用递推关系可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），即bn+1=3bn，即可证明．
（II）由（I）可得：bn=3n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（III）bn=3n=an+1，解得an=3n﹣1．由=，即可证明左边不等式成立．又由==＜=，即可证明右边不等式成立．
【解答】（I）证明：a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），∴a2=2×（2+1+1）=8．
n≥2时，an=2（Sn﹣1+n），相减可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），n=1时也成立．
令bn=an+1，则bn+1=3bn．∴{bn}是等比数列，首项为3，公比为3．
（II）解：由（I）可得：bn=3n．
∴数列{nbn}的前n项和Tn=3+2×32+3×33+…+n?3n，
3Tn=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，
∴﹣2Tn=3+32+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=×3n+1﹣，
解得Tn=+．
（III）证明：∵bn=3n=an+1，解得an=3n﹣1．
由=．
∴+…+＞…+==，因此左边不等式成立．
又由==＜=，
可得+…+＜++…+
=＜．因此右边不等式成立．
综上可得：﹣＜+…+．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cosC＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
参考答案：
(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4.
∴c＝2
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝ ＝.
∴sinA＝＝＝.
∵a
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