2022-2023学年山西省太原市江阳化工厂职工子弟中学高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年山西省太原市江阳化工厂职工子弟中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则的最大值和最小值分别是（   ）                              参考答案： d 略 2. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图且全等的等腰三角形， 如果直角三角形的直角边的长为1，那么几何体的体积为（   ） A．1    B．     C．     D． 参考答案： D 3. 下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是    (       ) A．   B．   C．    D． 参考答案： B 4. 若实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的取值范围是（　　） A．（，） B．[，] C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，]∪[，+∞） 参考答案： B 【考点】JE：直线和圆的方程的应用． 【分析】方程即 （x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示一个以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．表示圆上的点（x y）与点A（﹣1，﹣1）连线的斜率．求出圆的两条切线方程，可得切线斜率k的范围即可． 【解答】解：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 即 （x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示一个以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆． 表示圆上的点（x y）与点A（﹣1，﹣1）连线的斜率． 设圆的过点A的一条切线斜率为k， 则切线的方程为 y+1=k（x+1），即 kx﹣y+k﹣1=0． 由圆心到切线的距离等于半径可得=1，k=． 故切线的斜率k的范围为[，]． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的标准方程、直线的斜率公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 5. 集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，5}，则A∩?UB=（　　） A．{1，3，6} B．{1，3} C．{1} D．{2，4，5} 参考答案： B 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合． 【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4，5}， ∴?UB={1，3，6} A∩?UB={1，3，5}∩{1，3，6}={1，3} 故选：B． 【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算． 6. －π的终边所在的象限是  (　　) A．第一象限       B．第二象限      C．第三象限    D．第四象限 参考答案： D 略 7. 若不等式kx2+kx﹣1≤0（k为实数）的解集为R，则直线kx+y﹣2=0的斜率的最大值等于（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 参考答案： B 8. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a=（   ） A．5.25            B．5.15          C．5.2        D．10.5 参考答案： A 由题意得 ． ∴样本中心为． ∵回归直线过样本中心， ∴ ， 解得．   9. 设，，，则有（     ） A．                         B．    C．                         D． 参考答案： B 略 10. 设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为 （　　） A．{0} B．{0，3} C．{1，3，4} D．{0，1，3，4} 参考答案： D 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】通过解方程分别求得集合A、B，根据A∪B中所有元素之和为8，可得a的可能取值． 【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}， 解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}， ∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}． ∴a=0或1或3或4． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的 零点的集合为     ▲    . 参考答案： 12. 对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______． 参考答案： 20 【分析】 先由数列的关系求出，再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值，可得答案. 【详解】由题可知，当时，化简可得，当 所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即 又时， 记 一方面 另一方面 所以 即 故答案为20 【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题. 13. 如右图，棱长为的正方体中，为线段上的动点(不含端点)，下列结论： ①与平面所成角为    ② ③二面角 的大小为  ④的最小值为 其中正确结论的序号是                ．（写出所有正确结论的序号） 参考答案： ②③④ 14. 关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是　   　． 参考答案： 1 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】数形结合． 【分析】构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，即可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a的值． 【解答】解：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，如图所示 则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a=1 故答案为：1 【点评】本题考查方程的解，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 15. 两条平行直线与的距离是          ． 参考答案： 16. 已知函数,分别由下表给出: 则当时, . 参考答案： 3 略 17. 已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是　　． 参考答案： 3或5 【考点】两条直线平行的判定． 【分析】考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可． 【解答】解：当k=3时两条直线平行， 当k≠3时有 故答案为：3或5． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）（1）已知||=3，=（4，2），若//，求的坐标； （2）已知=（2，3），=（1，2），若+与的夹角不为锐角，求的范围。 参考答案： 19. 本小题满分10分 已知, (1)求的值；         （2）求的值． 参考答案： …………………………5分   （2）可求得的夹角=         =……………………………………10分   20. 已知关于x的函数f（x）=x2﹣2ax+2． （1）当a≤2时，求f（x）在[，3]上的最小值g（a）； （2）如果函数f（x）同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间[p，q]，使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”． （i）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“闭函数”，求实数t的取值范围； （ii）判断（1）中g（a）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，根据对称轴，分类讨论即可， （2）（i）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p2，q2为方程+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围 （ii）由新定义，假设g（a）为“和谐函数”，讨论p，q的范围，通过方程的解即可判断 【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a， 当a≤时，f（x）在[，3]上单调递增，其最小值为g（a）=f（）=﹣； 当≤a≤2时，f（x）在[，3]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2； 函数f（x）=x2﹣2ax+2在[，3]上的最小值g（a）= （2）（i）∵y=+t在[1，+∞）递增， 由闭函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内， 存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]，所以p≥1， ， ∴p2，q2为方程+t=x的二实根， 即方程x2﹣（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根且x≥t恒成立， 令u（x）=x2﹣（2t+1）x+t2+1， ∴，∴， 解得＜t≤1 ∴实数t的取值范围（，1]． （ii）对于（1），易知g（a）在（﹣∞，2]上为减函数， ①若p＜q≤，g（a）递减，若g（a）为“闭函数”， 则， 两式相减得p+q=，这与p＜q≤矛盾． ②＜p＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则 此时p2+q2=2满足条件的p，q存在， ∴＜p＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在， ③p≤＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则， 消去q得9p2﹣6p+1=0，即（3p﹣1）2=0 解得p=此时，q=＜2，且p2+q2=2 ∴p=＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在， 综上所述，当p，q满足时，g（a）为“闭函数” 21. 在平面直角坐标系xoy中，已知四边形OABC是平行四边形，，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点），如图 （Ⅰ）求∠ABC的大小； （II）是否存在实数λ，使？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意，得，因为四边形OABC是平行四边形，所以，，于是，∠ABC=   （II）设，其中1≤t≤5， 于是    若，则， 即                                又1≤t≤5，所以故存在实数，使. 略 22. 已知函数 （1）判断的奇偶性并给予证明； （2）求满足的实数的取值范围． 参考答案： （1）奇函数； ;是奇函数 （2）或或