湖南省永州市荷池中学2022年高三数学理模拟试题含解析

湖南省永州市荷池中学2022年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （04年全国卷Ⅱ理）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有 （A）1条　　　　 　（B）2条　　　　　（C）3条　　　　　（D）4条 参考答案： 答案：B 2. 已知函数，若对任意的，在上总有唯一的零点，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 函数，可得， 所以由， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 在坐标系中画出和的图象，如图所示， 对任意的，在上总唯一的零点，可得， 可得，可得，即，故选C. 3. 设直线与直线A的交点为A；P，Q分别为上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（  ） A. 2 B. －2 C. 3 D. －3 参考答案： A 根据题意画出图形，如图所示； 直线 与直线 的交点为 ； 为 的中点， 若，则 即 解得 ． 故选A． 4. 设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 参考答案： A 【考点】二倍角的余弦． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值． 【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α====， 故选：A． 5. 已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数则y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　) A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 参考答案： B y＝f(x)－g(x)的零点个数即为f(x)=g(x)的根的个数，即y＝f(x)和y＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点. 故选B. 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 6. 下列命题错误的是 A. 命题“若p则q”与命题“若，则”互为逆否命题 B. 命题“R, ”的否定是“,” C. 且，都有 D. “若，则”的逆命题为真 参考答案： D 【分析】 对给出的四个选项分别进行判断可得结果． 【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确． 对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R, ”的否定是“,”，所以B正确． 对于选项C，当且时，由基本不等式可得．所以C正确． 对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确． 故选D． 【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力． 7.   向量a,b满足，则向量a与b的夹角为   （    ）     A．45°           B．60°           C．90°           D．120° 参考答案： 答案:C 8. 已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于(     ) A．1 B．2 C．4 D．8 参考答案： D 考点：等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案． 解答： 解：∵数列{an}是各项不为0的等差数列， 由a4﹣2+3a8=0，得， ，， ∴，解得：a7=2． 则b7=a7=2． 又数列{bn}是等比数列， 则b2b8b11=． 故选：D． 点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题． 9. 已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是（   ） A．HF//BE B． C．∠MBN的余弦值为 D．五边形FBEGH的面积为 参考答案： C 因为面，且面与面MBN的交线为FH，与面MBN的交线为BE，所以HF//BE，A正确；因为，且，所以，所以，所以，在Rt△中，，所以B正确；在Rt△中，E为棱的中点，所以为棱上的中点，所以，在Rt△中， ，所以；因为，在△中，，所以C错误；因为，所以，所以，根据题意可得，，，所以．故选C． 10. “a=1”是“（1+ax）6的展开式的各项系数之和为64”的(     ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题． 分析：先通过观察，令二项式中的x=1得到展开式的各项系数和．再由充要条件的定义直接判断“a=1”?“（1+ax）6的展开式的各项系数之和为64”和“（1+ax）6的展开式的各项系数之和为64”?“a=1”是否正确即可． 解答： 解：令二项式中的x=1得到展开式中各项系数之和为 （1+a）6=64，得1+a=2或1+a=﹣2，∴a=1或a=﹣3． “a=1”?“a=1或a=﹣3”，反之，“a=1或a=﹣3”不能?“a=1”， ∴“a=1”是“（1+ax）6的展开式的各项系数之和为64”的充分不必要条件． 故选B． 点评：本题考查充要条件的判断，考查求二项展开式的 系数和问题，一般通过观察，通过给二项式中未知数赋值，求出展开式的各项系数和． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线截圆所得的弦长等于____________。 参考答案： 4 略 12. 函数的定义域为　   　． 参考答案： （﹣∞，0） 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解绝对值的不等式得答案． 【解答】解：由|x|﹣x＞0，得|x|＞x，∴x＜0． ∴函数的定义域为（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 13. 有限集合中元素的个数记作。已知，，，，且，。若集合满足，但均不是的子集，则这样的集合的个数是__________。 参考答案： 14. 参考答案： -1 略 15. 已知数列{an}满足，，则数列{an}中最大项的值为      . 参考答案： 由得 ， 即数列是公差为8的等差数列，故，所以， 当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.   16. 若等差数列{an}中，满足a4+a10+a16=18，则S19=　　． 参考答案： 114 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a10+a16=18=3a10，解得a10，再利用求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}的性质可得，a4+a10+a16=18=3a10，解得a10=6， 则S19==19a10=114， 故答案为：114． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且，则S4=　    　． 参考答案： 15 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可． 【解答】解：正项等比数列{an}中，a1=1，且， ∴1﹣=， 即q2﹣q﹣2=0， 解得q=2或q=﹣1（舍去）， ∴S4==15， 故答案为：15． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量 ＝(cosB，cosC)，＝(2a+c，b)，且⊥. （1）求角的大小； （2）若，求的范围 参考答案： 解：∵ m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n. ∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ∴cosB=－1／2 ∵0≤B≤180 ∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 （2）由余弦定理，得      当且仅当时，取等号.。。。。10分         。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分 又     。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分     略 19. （本小题满分12分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问6分） 如右图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,, ,． (Ⅰ)求证:平面平面； (Ⅱ)若,求四棱锥的体积．     参考答案： 解：（Ⅰ）证明： 在中,由余弦定理得：，所以,所以,即，        …………3分    又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，        又,所以平面,        …… ……………………5分  又平面,所以平面平面．  ……………………6分 (Ⅱ)法一：连结，∵，∴ ∵平面，所以，         ……………………………8分 所以四边形的面积，        …………10分 取的中点，连结，则，且， 又平面平面,平面平面， 所以平面， 所以四棱锥的体积：．         ……12分 法二: 四棱锥的体积，……………8分 而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等，……………10分 所以．…12分 略 20. （本小题满分13分）    、 如图所示，在正方体ABCD —A’B’C’D’'中，棱AB，BB’，B'C’，C'D’的中点分别是E，F，G，H． （1）求证：AD’//平面EFG； （2）求证：A’C⊥平面EFG： （3）判断点A，D’，H，F是否共面？并说明理由 参考答案： 【知识点】线面平行的判定 线面垂直的判定 平面的基本性质G3 G4 G5 (1)略；(2)略；(3) 不共面 解析：（1）证明：连接BC'，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=C'D'，AB∥C'D'． 所以，四边形ABC'D'是平行四边形，所以，AD'∥BC'．因为 F，G分别是BB'，B'C'的中点，所以 FG∥BC'，所以，FG∥AD'．因为 EF，AD'是异面直线，所以AD'?平面EFG． 因为 FG?平面EFG，所以AD'∥平面EFG． （2）证明：连接B'C，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，A'B'⊥平面BCC'B'，BC'?平面BCC'B'，所以，A'B'⊥BC'．在正方形BCC'B'中，B'C⊥BC'，因为 A'B'?平面A'B'C，B'C?平面A'B'C，A'B'∩B'C=B'，所以，BC'⊥平面A'B'C．因为 A'C?平面A'B'C，所以，BC'⊥A'C． 因为 FG∥BC'，所以，A'C⊥FG，同理可证：A'C⊥EF．因为 EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F，所以，A'C⊥平面EFG． （3）点A，D'，H，F不共面．理由如下