湖南省岳阳市沙田中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

湖南省岳阳市沙田中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（　　） A．[0，] B．[﹣，0] C．[﹣，1] D．[0，1] 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】令y﹣x=n，x+1=m，把已知的不等式转化为关于m，n的不等式组，把s=转化为，作出关于m，n的约束条件的可行域后由斜率公式得答案． 【解答】解：令y﹣x=n，x+1=m， 则x=m﹣1，y=m+n﹣1， 代入，得． 作出可行域如图， s=化为． 分别联立方程组， 解得：A（2，﹣1），C（1，1）． ∴的范围为． 故选：C． 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a2012﹣1）3+2014a2012=0，（a3﹣1）3+2014a3=4028，则下列结论正确的是（　　） A．S2014=2014，a2012＜a3 B．S2014=2014，a2012＞a3 C．S2014=2013，a2012＜a3 D．S2014=2013，a2012＞a3 参考答案： A 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 构造函数f（x）=（x﹣1）3+2014x，由函数的单调性可判a2012＜a3，已知两式相加分解因式，由g（t）为增函数，且g（2）=4028，可得t=2，进而由等差数列的性质和求和公式可得． 解答： 解：构造函数f（x）=（x﹣1）3+2014x， 则f′（x）=3（x﹣1）2+2014＞0， ∴函数f（x）=（x﹣1）3+2014x单调递增， ∵f（a3）=4028＞f（a2012）=0， ∴a2012＜a3，排除B和D， 已知两式相加可得（a2012﹣1）3+2014a2012+（a3﹣1）3+2014a3=4028 分解因式可得（a3+a2012﹣2）[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]+2014（a3+a2012）=4028， 令a3+a2012=t，则有g（t）=[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]（t﹣2）+2014t， ∵[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]＞0，∴g（t）为增函数， 又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a3+a2012=2， ∴S2014===2014 故选：A 点评： 本题考查等差数列的求和公式，涉及函数的单调性的应用和构造函数的技巧，属中档题． 3. 在△ABC中，，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，（   ） A．－24         B．       C.         D．24 参考答案： D 以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设 当时取得最小值， ，选D.   4. 过双曲线的右焦点F和虚轴的一端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则该双曲线的离心率e为（    ） A．         B．       C.或         D．2 参考答案： D 由题意得， ∴， 两边平方整理得， ∴， 解得或（舍去）． ∴该双曲线的离心率为．选D．   5. 已知集合则有 （    ） A． B． C． D． 参考答案： B 6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG。其中所有正确结论的编号是 A.①         B.②③        C.①②         D.①③ 参考答案： D 7. 如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为(　　) A．4           B．4 C．2           D．2 参考答案： C 8. 有四个关于三角函数的命题： ：xR, +=     : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny : x,=sinx    : sinx=cosyx+y= 其中假命题的是(　) （A），  （B），   （3），  （4）， 参考答案： A 9. 已知函数， ，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（     ）    A．                              B。    C．                              D。 参考答案： B 略 10. 若变量满足约束条件，则的最小值为(    ) A． B．               C．               D． 参考答案： 【知识点】简单的线性规划.E5  【答案解析】C   解析：由约束条件画出可行域如图所示， 则根据目标函数画出直线，由图形可知将直线平移至点取得的最小值，解方程组，得，即代入可得.故选C 【思路点拨】先由线性约束条件画出可行域，再由线性目标函数求得最值。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，向量与垂直，则实数_______． 参考答案： 12 12. (几何证明选做题)如图△ABC中BC＝6，以BC为直径的半圆 分别交AB、AC于E、F，若AC＝2AE，则EF＝      参考答案： 3 13. 如果等差数列中，，那么的值为                  参考答案： 36 14. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班同学的平均分是85分，乙班同学成绩的中位数是83，则的值为 参考答案： 15. 若关于x的不等式的解集是，则实数m＝______． 参考答案： 3 略 16. 命题“，”的否定是          ． 参考答案： 17. 平面向量的夹角为，，，则          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，AB=，BC=2，AC=1． （1）求证：AB⊥AD； （2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积． 参考答案： 【分析】（1）证明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后证明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD． （2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，证明EF⊥平面ADC，连接FC，说明∠ECF=30°，求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可． 【解答】解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分） 又由，BC=2，AC=1，得BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC…（4分） 故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分） （2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA， 因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分） 连接FC，则∠ECF=30°，∴…（9分） 又∠BAD=∠BCD=90°， 所以四面体ABCD的外接球的半径…（11分） 故四面体ABCD的外接球的表面积=…（12分） （向量解法酌情给分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 19. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 （Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; （Ⅱ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; （Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。 参考答案： 解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 用频率估计相应的概率为0．44． （Ⅱ ）选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为： 所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2 L2的频率 0 0．1 0．4 0．4 0．1 （Ⅲ）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。 由（Ⅱ）知P（A1） =0．1+0．2+0．3=0．6 P（A2）=0．1+0．4=0．5， P（A1）>P（A2） 甲应选择L1 P（B1） =0．1+0．2+0．3+0．2=0．8 P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P（B2）＞P（B1）， ∴ 乙应选择L2． 20. 已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R． （Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值； （Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）将a=时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f′（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值； （Ⅱ）由题意首先求得：，故应按a＜0，a=0，a＞0分类讨论：当a≤0时，易知函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而当b∈（0，1）时f（b）＜f（0），则不存在实数b∈（1，2），符合题意；当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f（x）x∈（﹣1，b]的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在． 【解答】解：（Ⅰ）当a=时，， 则，化简得（x＞﹣1）， 列表如下： x （﹣1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 ∴函数f（x）在（﹣1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0， f（1）=ln2﹣， ∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；   （Ⅱ）由题意， （1）当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）； （2）当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或， ①当，即a＞时，函数f（x）在（）和（0，+∞）上单调递增， 在（）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时， 函数f（x）的最大值为f（b），则f（）＜f（1），代入化简得， 令（a＞）， ∵恒成立，故恒有， ∴a时，恒成立； ②当，即0＜a