山东省泰安市新泰第五中学高三数学理上学期期末试题含解析

山东省泰安市新泰第五中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则的值为   ……………………（　　）     A. 9                   B.18                  C.24                D.36 参考答案： B 2. 在等比数列{an}中，首项a1=1，若数列{an}的前n项之积为Tn，且T5=1024，则该数列的公比的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3 参考答案： C 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵首项a1=1，T5=1024， ∴15×q1+2+3+4=1024，即q10=210，解得q=±2． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 下列命题中错误的是（　　） 　 A． 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β 　 B． 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 　 C． 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ 　 D． 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 参考答案： D 考点： 平面与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑． 分析： 本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可． 解答： 解：由题意可知： A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立； B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立； C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立； D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选D． 点评： 本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思． 4. 在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出． 【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c?sinA＜sinB＜sinC?sin2A＜sin2B＜sin2C ?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C?“cos2A＞cos2B＞cos2C”． ∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件． 故选：C． 5. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．  上述事件中，是对立事件的是(     ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 参考答案： C 考点：互斥事件与对立事件． 专题：计算题；概率与统计． 分析：分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件． 解答： 解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件， 在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件 故选：C 点评：分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件． 6. 存在函数f(x)满足，对任意x∈R都有（ ） A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1| 参考答案： D 【详解】A：取，可知，即，再取，可知 ，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知 ，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令， ∴，符合题意，故选D. 考点：函数的概念 7. 已知全集，集合,，则B A.   B. C.   D. 参考答案： A 略 8. A、 B、 C、 D、 参考答案： C 知识点：诱导公式 解析： 故答案为：C 9. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（     ）    参考答案： B 略 10. 已知函数f（x）=sin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（+）?（﹣）的值为（　　） A．﹣1 B． C． D．2 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可求出f（x）的周期为2，从而得出，根据正弦函数的对称性可知，点C为DE的中点，从而，并且，代入进行数量积的运算即可． 【解答】解：f（x）=sin（πx+φ）的周期为2； ∴； D，E关于点C对称； ∴C是线段DE的中点； ∴ = = =2． 故选D． 【点评】考查三角函数周期的计算公式，正弦函数的对称中心，以及向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数的虚部是　   　． 参考答案： 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可求出复数的虚部． 【解答】解：复数===﹣+i． 复数的虚部为：； 故答案为：． 12. 若角的终边过点，则____. 参考答案： 【考点】三角函数的定义。 解析：角的终边过点，所以，，，答案： 13. 已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为　    　． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；古典概型及其概率计算公式． 【分析】f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率． 【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b2x+1， ∴f′（x）=x2+2ax+b2， 要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根， 即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b， 又a，b的取法共3×3=9种， 其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1）， （3，0），（3，1），（3，2）共6种， 故所求的概率为P=． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用． 1.不等式＜0的解为      . 参考答案： 15. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为          ． 参考答案： 4 16. 已知的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】两角和与差的正切函数． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值． 【解答】解：∵已知=tan[（α+β）﹣α]= = =﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题． 17. 已知数列中，，对于任意，，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求＝▲    ． 参考答案： 9　 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A、B、C、D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务. （1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率； （2）设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 参考答案： （1）（2）见解析 【分析】 （1）先算出每项任务至少安排一位同学承担，共有种安排方法，考虑甲、乙两人同时承担同一项任务，共有种安排方法，用去杂法可求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率. （2），利用二项分布可求分布列及数学期望. 【详解】（1）设为“甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率”， ； （2） 每一位同学承担任务的概率为，不承担任务的概率为 ，， ，， ，， 所以. 【点睛】古典概型的概率的计算，关键时基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，另外，随机变量的分布列应该借助于常见分布来计算概率. 19. 已知数列满足，且对任意都有 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设证明：是等差数列； （Ⅲ）设，求数列的前项和.   参考答案： 解：(1)由题意，令m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6        再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………3分 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w   即  bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………8分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝-(n－1)2. 那么an＋1－an＝－2n＋1            ＝－2n＋1            ＝2n 于是cn＝2nqn－1. 当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) 当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1. 两边同乘以q，可得           qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得      (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn                  ＝2·－2nqn                ＝2· 所以Sn＝2· 综上所述，Sn＝…………………………15分 20. （13分）已知左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）的椭圆C：(a＞b＞0)过点(，)，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点． （I）求椭圆C的离心率和标准方程．