河南省信阳市陕县第一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河南省信阳市陕县第一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（   ） A．          B．        C．       D． 参考答案： D 2. 锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（　　） A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6] 参考答案： A 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围． 【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc． 由余弦定理可得：cosA===， ∴A为锐角，可得A=， ∵， ∴由正弦定理可得：， ∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣）， ∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，）， ∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]． 故选：A． 3. 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为(　　) A．(0,0.5)，f(0.25)                 B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75)                 D．(0,0.05)，f(0.125) 参考答案： A 4. 设为等比数列的前项和，,则 (A)           (B)            (C)      (D) ks5u 参考答案： A 略 5. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A= a4   a5   ，其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．记，当程序运行一次时，的数学期望 (   ) A．               B．              C．              D．   参考答案： C 6. 已知集合，，则 A．        B．        C．或       D．或 参考答案： C 7. 设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，     f（x＋2）＝f（x）＋f（2），则f（5）＝    （A）5       （B）   （C）1       （D）0   参考答案： B 略 8. 已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（　　） A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=x+2y，则y=﹣x+ 平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1）， 所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4； 故选C． 9. 若集合则（　  　） A.          B.           C.         D. 参考答案： B 略 10. 已知，则下列不等式一定成立的是 (A)       (B)       (C)         (D) 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数，请你根据上面探究结果，计算+…++=      __________  . 参考答案： 2013 12. 已知则________________，_____________. 参考答案：     【分析】 根据已知条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式对式子进行化简成形式，即可求出、的值. 【详解】 所以 故答案为： ； 【点睛】本题考查了二倍角余弦公式、两角和正弦公式，属于较易题. 13. 已知函数，则这个函数在点x=1处的切线方程是__________． 参考答案：   14. 函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线y=ex+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，则φ（A，B）的取值范围是　　． 参考答案： （0，] 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出y′=ex，+1，由定义求出两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“平方弯曲度”，由题意可令t=e﹣e， 可设f（t）=，t＞0，求出导数和单调区间、极大值和最大值，即可得到所求范围． 【解答】解：y=ex+x的导数为y′=ex+1， kA=e+1，kB=e+1， φ（A，B）== =， x1﹣x2=1，可得x1＞x2，e＞e， 可令t=e﹣e， 可设f（t）=，t＞0， f′（t）==， 当0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）递增； 当t＞时，f′（t）＜0，f（t）递减． 则当t=处f（t）取得极大值，且为最大值=． 则φ（A，B）∈（0，]． 故答案为：（0，]． 15. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为　    　．   一年级 二年级 三年级 女生 373 C2 C1 男生 377 370 C2 参考答案： 16 【考点】分层抽样方法． 【分析】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数． 【解答】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人， 所以三年级的学生数为；2000﹣373﹣377﹣380﹣370=500人，所占比例为 所以应在三年级抽取的学生人数为 64×=16 故答案为：16 16. 不等式|2x－1|＜1的解集是                      。 参考答案： 17. 函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为          . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小 参考答案： 略 19. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若的最小值为1，求a的值. 参考答案： （1）{x|－1＜x＜1}；（2）a＝－4或0.   试题解析：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝， 考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质. 20. （本小题满分14分）w。w-w*k&s%5￥u 已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、 分别是该抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点．        （Ⅰ）求直线的斜率的取值范围； （Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）设直线，则 ，                                                                ……① 依题意，有或；w。w-w*k&s%5￥u （Ⅱ）由，所以抛物线在处的切线的方程为 ，即． 令，得．        同理，得．w。w-w*k&s%5￥u        注意到、是方程①的两个实根，故，即，从而有 ， 因此，． 略 21. 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）依题意得=， ?2a?2b=4，又a2=b2+c2，由此解得a，b．即可得出． （Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．分析如下： 方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．又点M异于顶点A、B，可得﹣2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．可得?＞0，即可证明． 方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差．|BQ|2﹣|MN|2=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2，两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，可得=，化简后可得|BQ|2﹣|MN|2＜0，即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得=， ?2a?2b=4，又a2=b2+c2，由此解得a=2，b=． 所以椭圆E的方程为=1． （Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．证明如下： 方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）． ∵M点在椭圆上，∴y02=（4﹣x02）．　① 又点M异于顶点A、B，∴﹣2＜x0＜2． 由P、A、M三点共线可以得P． 从而=（x0﹣2，y0），=． ∴?=2x0﹣4+=（x02﹣4+3y02）．　② 将①代入②，化简得?=（2﹣x0）． ∵2﹣x0＞0，∴?＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内． 方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则﹣2＜x1＜2，﹣2＜x2＜2，又MN的中点Q的坐标为， 依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差 |BQ|2﹣|MN|2=+﹣ [（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2] =（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2　③ 直线AP的方程为y=（x+2），直线BP的方程为y=（x﹣2）， 而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上， ∴=，即y2=　④ 又点M在椭圆上，则=1，即y12=（4﹣x12）　⑤ 于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|2﹣|MN|2=（2﹣x1）（x2﹣2）＜0． 22. 已知函数． （1）求函数y=f（x）的解析式，并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象； （2）设α∈（0，π），f（）=，求sinα的值． 参考