2022年广西壮族自治区玉林市陆川县第二中学高二数学理模拟试卷含解析

2022年广西壮族自治区玉林市陆川县第二中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N值是6，那么输出p的值是(     ) A．15 B．105 C．120 D．720 参考答案： B 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：根据程序框图和算法，写出k≤N成立时每次p，k的值，当k=7时，p=105，k≤N不成立，输出p的值为105． 解答： 解：执行程序框图，则有 N=6，k=1，p=1 p=1，k≤N成立，有 k=3，p=3，k≤N成立，有 k=5，p=15，k≤N成立，有 k=7，p=105，k≤N不成立，输出p的值为105． 故选：B． 点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题． 2. 已知，则 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 3. 已知，则 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据已知求出，再求. 【详解】因为， 故， 从而. 故选：C 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4. 几何体的三视图如图，则该几何体的体积是 A． B． C． D． 参考答案： C 5. 若(ax2－)9的展开式中常数项为84，其中为常数，则其展开式中各项系数之和为（     ） A.   1     B. 512       C. -512     D. 0 参考答案： D 6. 已知函数满足：①，有成立； ②，使，则下列结论中错误的是（   ） A．              B．函数是偶函数      C．函数是奇函数      D．      参考答案： C 7. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　） A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙 C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙 参考答案： B 【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数． 【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项． 【解答】解：甲的平均数甲==， 乙的平均数乙==， 所以甲＜乙． 甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙 故选：B． 8. 已知为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（  ） A. 5          B.         C.          D. 8 参考答案： B 略 9. 在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（　　） A．7 B．15 C．20 D．25 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【分析】利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=1，a4=5， ∴a2+a4=a1+a5=6， ∴S5=（a1+a5）= 故选B． 10. 设函数且，则该函数的图像大致是（   ） 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式组表示的平面区域M面积为　　，若点（x，y）∈M，则x﹣3y的最大值为　　． 参考答案： ，﹣1   【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出三角形顶点坐标，则面积可求；令z=x﹣3y，化为y=，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图： 联立，解得A（）； 联立，解得B（2，1）； 联立，解得C（1，2）． ∴平面区域M面积为S=； 令z=x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值﹣1． 故答案为：，﹣1． 12. 不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点     ． 参考答案： （2，3） 【考点】恒过定点的直线． 【专题】计算题；函数思想；直线与圆． 【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点． 【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0 令 解得：， 故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3） 故答案为：（2，3）． 【点评】正确理解直线系的性质是解题的关键． 13. 计算：     参考答案： 14. 短轴长为2，离心率e=的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为_____________。 参考答案： 12 略 15. 集合，，若，则实数的值为          参考答案： 16. 空间直角坐标系中，已知A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1），则直线AB与AC的夹角为　    　． 参考答案： 60° 【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】根据空间向量的坐标表示，得出、的坐标，利用向量的夹角公式求出向量、的夹角即可． 【解答】解：空间直角坐标系中，A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1）， ∴=（0，3，3），=（﹣1，1，0）， ∴?=0×（﹣1）+3×1+3×0=3， ||==3， ||==， ∴cos＜，＞===， ∴向量、的夹角为60°， 即直线AB与AC的夹角为60°． 故答案为：60°． 17. 已知函数为奇函数,且当时,,则   ▲     ． 参考答案： -2. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为A、B． (1)若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程； (2)若，求椭圆的离心率； 参考答案： 1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为 ∵△是边长为的正三角形，∴点A的坐标是，                                    代入抛物线的方程解得，故所求抛物线的方程为                                 （2）∵, ∴ 点的横坐标是代入椭圆方程解得，即点的坐标是            ∵ 点在抛物线上，∴，                                    将代入上式整理得：， 即，解得                             ∵ ，故所求椭圆的离心率。   略 19. 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点.设不过原点的直线与该椭圆交于两点，且直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围. 参考答案： 由题意可设椭圆方程为 ， 由   得 ， 所以，椭圆方程为．ks5u                      由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，满足 ， 消去得． ， 且，． ．  因为直线，，的斜率依次成等比数列， 所以，，即， 又，所以，即．                   由于直线的斜率存在，且，得且． 设为点到直线的距离，则 ， 所以的取值范围为．                        20. （本小题14分） 已知定义在[－1，1]上的奇函数，当时，． （Ⅰ）试用函数单调性定义证明：在上是减函数； （Ⅱ）若，，求实数的取值范围； （Ⅲ）要使方程在[－1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ）．证：任设，则 ． ， ． ，即 ∴在上是减函数.．     ……4分   （Ⅱ） 由  得：                             ……8分 （Ⅲ）记，则为上的单调递减函数． ∴． ∵在[－1，1]上为奇函数，∴当时． 又， ∴ ，即．                        ……14分 略 21. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为 AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1 （Ⅰ）证明：AB=AC     （Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成 的角的大小 参考答案： 解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。…………………5分 （Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600.. 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。 由得2AD=，解得AD=。…………………9分 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。.    因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2， 所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300. …………………12分 解法二： （Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。   设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）. 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。…………………5分 （Ⅱ）设平面BCD的法向量则 又=（-1，1， 0）， =（-1，0，c）,故     令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ). 又平面的法向量=（0，1，0） 由二面角为60°知，=60°， 故  °，求得     …………………9分 于是  ，  ， ° 所以与平面所成的角为30°…………………12分 略 22. 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)． (1)若·＝－1，求sin的值； (2)]O为坐标原点，若＝，且α∈(0，π)，求与的夹角． 参考答案： (1)＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， ＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 得sin2α＋cos2α－3(sin α＋cos α)＝－1， 所以sin＝． (2)因为＝， 所以(3－cos α)2＋sin2α＝13， 所以cos α＝－， 因为α∈(0，π)，所以α＝，sin α＝， 所以C， 所以＝， 设与的夹角为θ，则=＝， 因为θ∈(0，π)，所以θ＝为所求．