山东省威海市大水泊中学2022年高二数学理联考试卷含解析

山东省威海市大水泊中学2022年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 要使成立，则应满足的条件是(　　) Ａ．且 Ｂ．且 Ｃ．且 Ｄ．且或且 参考答案： A 2. 在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是     (    ) A.(－4,1) B.(－1,4) C.(－∞,－4)∪(1,+∞)  D. (－∞,－1)∪(4,+∞) 参考答案： A 3. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（   ） A.     B. C.   D. 参考答案： D 略 4. 圆与圆的位置关系是        （     ） A.相离 B.相外切             C.相交               D.相内切 参考答案： C 5. 命题“对任意的”的否定是(    ) A.不存在          B.存在 C.存在            D.对任意的 参考答案： C 6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为（   ） A. B.   C. D. 参考答案： C 略 7. 若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A．    B．   C．     D． 参考答案： D 8. 已知命题，，则        （      ） A．      B. C.       D. 参考答案： D 9. 如图,在平行六面体中，为与的交点。若， ，则下列向量中与相等的向量是（    ）   A.              B.   C.              D. 参考答案： A 10. 函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（　　） 　 A． f（1）＜f（）＜f（） B． f（）＜f（1）＜f（） C． f（）＜f（）＜f（1） D． f（）＜f（1）＜f（） 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________. 参考答案： 略 12. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是                   ． 参考答案： 13. 如右图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则       ． 参考答案： 1:24 14. 函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，4]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是　  　． 参考答案： 70 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】对于区间[﹣3，4]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，4]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论． 【解答】解：对于区间[﹣3，4]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，4]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t， ∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）， ∵x∈[﹣3，4]， ∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，4]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减； ∴f（x）max=f（4）=51，f（x）min=f（﹣3）=﹣19； ∴f（x）max﹣f（x）min=70， ∴t≥70； ∴实数t的最小值是70． 故答案为：70． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 15. 过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A、B两点，则|AB|＝__________． 参考答案： 略 16. 参考答案： 略 17. 给出下列命题： ①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝(2,1，－)，则l与m垂直． ②直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α. ③平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β. ④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1. 其中真命题的序号是________． 参考答案： ①④ [解析]　①∵a·b＝(1，－1,2)·(2,1，－)＝0， ∴a⊥b，∴l⊥m，故①真； ②∵a·n＝(0,1，－1)·(1，－1，－1)＝0， ∴a⊥n，∴l∥α或l?α，故②假； ③∵n1与n2不平行，∴α与β不平行，∴③假； ④＝(－1,1,1)，＝(－2,2,1)， 由条件n⊥，n⊥， ∴，即，∴，∴u＋t＝1. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点． （Ⅰ）求证：BF∥平面AEC； （Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系A﹣xyz，设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），，．设平面AEC的一个法向量为，由，知，由，得，由此能够证明BF∥平面AEC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为，由为平面ACD的法向量，能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz， 设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），（2分） （Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为， ∵，， ∴由， 得， 令y=﹣1，得（4分） 又， ∴，（5分） ，BF?平面AEC， ∴BF∥平面AEC．（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为， 又为平面ACD的法向量，（8分） 而，（11分） 故二面角E﹣AC﹣D的余弦值为（12分） 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19. 已知直线l经过点P（1，1），倾斜角． （1）写出直线l的参数方程； （2）设l与圆（θ是参数）相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积． 参考答案： 【考点】QG：参数的意义；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程． 【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程； （2）先将曲线的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于t的二次方程，最后结合参数t的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积． 【解答】解：（1）直线的参数方程为，即． （2）由（1）得直线l的参数方程为（t为参数）． 曲线的普通方程为x2+y2=4． 把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得 t2+（+1）t﹣2=0， ∴t1t2=﹣2， ∴点P到A，B两点的距离之积为2． 20. 在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S． 参考答案： 【考点】正弦定理的应用． 【专题】计算题． 【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案． 【解答】解：由题意，得为锐角，， ， 由正弦定理得， ∴． 【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角形面积公式的应用，属基础题． 　 22．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 寿命/小时 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 个数 20 30 80 40 30 （1）完成频率分布表； 分组 频数 频率 100～200     200～300     300～400     400～500     500～600     合计     （2）完成频率分布直方图； （3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率． 【答案】 【解析】 【考点】互斥事件的概率加法公式；频率分布直方图． 【专题】计算题；作图题． 【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表 （2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图． （3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65． （4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35． 【解答】解：（1）完成频率分布表如下： 分组 频数 频率 100～200 20 0.10 200～300 30 0.15 300～400 80 0.40 400～500 40 0.20 500～600 30 0.15 合计 200 1 （2）完成频率分布直方图如下： （3）由频率分布表可知，寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65 （4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35 【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现，画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤． 21. （12分）已知函数（a为常数）与函数在处的切线互相平行． （1）求函数在[1,2]上的最大值和最小值； （2）求证：函数的图象总在函数图象的上方． 参考答案： （1），，由已知有，解得． 当时，． 令，解得． ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，， ． ∴ 最小值为． 最大值为．                                     （………6分） （2）令，则只须证恒成立即可． ∵． 显然，单调递增（也可再次求导证明之），且． ∴ 时，，单调递减； 时，，单调递增； ∴恒成立，所以得证．                      （………12分）   22. 己知（ + ）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．  （I ）求该展开式中所有有理项的项数； （II）求该展开式中系数最大的项．    参考答案： 解：（Ⅰ）∵（ + ）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等∴Cn4=Cn6  ，   ∴n=10， ∴（ + ）10的通项为Tr+1=2rC10