浙江省台州市山前中学高一数学理月考试卷含解析

浙江省台州市山前中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于任意角α和β，若满足α+β=，则称α和β“广义互余”．已知sin（π+θ）=﹣，①sinγ=；②cos（π+γ）=；③tanγ=﹣2；④tanγ= 上述角γ中，可能与角θ“广义互余”的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题；新定义；分类讨论；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】①由已知可得sin2γ+sin2（π+θ）=1，得： +γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=（k∈Z），即可判断θ和γ可能是广义互余； ②由于sinθ=sin（γ﹣），解得γ﹣θ=2kπ﹣，或γ+θ=2kπ+，即可得解θ和γ不可能是广义互余； ③解得±sinθ=sin（﹣γ），当sinθ=sin（﹣γ）时，可得θ=﹣γ+2kπ，（k∈Z），可得a和β有可能是广义互余； ④解得cos2γ+sin2θ=1，可得γ﹣θ=2kπ，可得γ和θ不可能是广义互余． 【解答】解：∵sin（π+θ）=﹣，可得：sinθ=， ∴①sin2γ+sin2（π+θ）=1，可得： +γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=（k∈Z），故θ和γ可能是广义互余； ②cos（π+γ）=﹣cosγ=﹣sin（π+θ）=sinθ=sin（γ﹣）， ∴θ=γ﹣+2kπ，或θ=π﹣（γ﹣）+2kπ，（k∈Z）， ∴γ﹣θ=2kπ﹣，或γ+θ=2kπ+，（k∈Z）， α+β不可能等于90°，θ和γ不可能是广义互余； ③当tanγ=﹣2时，可得cosγ=±=±sinθ=sin（﹣γ）， 当sinθ=sin（﹣γ）时，可得θ=﹣γ+2kπ，（k∈Z）， 可得a和β有可能是广义互余； ④当tanγ=时，cosγ=±，此时cos2γ+sin2θ=1，γ﹣θ=2kπ，（k∈Z）， ∴γ和θ不可能是广义互余． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式的运用，考查了三角函数的图象和性质，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题． 2. 函数的零点所在的区间为 A、(0,1)         B、(1,2)       C、(2,3)         D、(3,4) 参考答案： B ，，因为，故函数零点在(1,2)上. 3. 已知,则下列推证中正确的是 A.                B.     C.            D. 参考答案： C 4. 已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过(     ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A．点（2，2） B．点（1.5，0） C．点（1，2） D．点（1.5，4） 参考答案： D 考点：变量间的相关关系． 专题：计算题． 分析：本题是一个线性回归方程，这条直线的方程过这组数据的样本中心点，因此计算这组数据的样本中心点，做出x和y的平均数，得到结果． 解答： 解：由题意知，y与x的线性回归方程=x+必过样本中心点， ==1.5，==4， ∵=x+=x+（﹣=（x﹣）+， ∴线性回归方程必过（1.5，4）． 故选D 点评：一组具有相关关系的变量的数据（x，y），通过散点图可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，即这条直线“最贴近”已知的数据点，这就是回归直线． 5. 下列式子中成立的是（    ） A.   B.   C.    D. 参考答案： D 6. cos (－)的值是（  ） A.  　　B.－  　　C. 　　　D.－    参考答案： B 7. 的值为（　  ） A．　　B．　　C．－　　D．－ 参考答案： A 8. 已知函数，则（   ） （A）其最小正周期为                      （B）其图象关于直线对称 （C）其图象关于点对称                 （D）该函数在区间上单调递增 参考答案： D 9. 设函数f(x)的定义域为[0,4]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则下列结论正确的是 （A）      （B） （C）    （D） 参考答案： C 10. 等比数列{an}中, 则{an}的前4项和为（    ） A. 81 B. 120 C. 168 D. 192 参考答案： B 【分析】 根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和. 【详解】，解得， 又，则等比数列的前项和. 故选：B. 【点睛】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集是_________。（用区间表示） 参考答案： (1，11) 解：。∴解集是(1，11)。 12. 某班共50人，参加A项比赛的共有30人，参加B项比赛的共有33人，且A,B     两项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加    B项的有    人. 参考答案： 9 略 13. 函数，单调递减区间为        . 参考答案： （-1，0）∪（1，+∞） 14. 已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=　　． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【分析】根据题意，将x=2、x=﹣2分别代入f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2可得，f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2，①和f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2，②，结合题意中函数奇偶性可得f（﹣2）+g（﹣2）=﹣f（2）+g（2），与②联立可得﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③，联立①③可得，g（2）、f（2）的值，结合题意，可得a的值，将a的值代入f（2）=a2﹣a﹣2中，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2， 则f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2，①，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2，② 又由f（x）为奇函数而g（x）为偶函数，有f（﹣2）=﹣f（2），g（﹣2）=g（2）， 则f（﹣2）+g（﹣2）=﹣f（2）+g（2）， 即有﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③ 联立①③可得，g（2）=2，f（2）=a2﹣a﹣2 又由g（2）=a，则a=2， f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=； 故答案为． 【点评】本题考查函数奇偶性的应用，关键是利用函数奇偶性构造关于f（2）、g（2）的方程组，求出a的值． 15. 数列{an}的通项公式为，若，则              . 参考答案： 99 16. ks5u 若函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是             。 参考答案： 或  17. 若存在实数b使得关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是____.　 参考答案： [－1,1] 【分析】 先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围. 【详解】由于，故可化简得恒成立. 当时，显然成立. 当时，可得， ，可得且，可得，即，解得. 当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？为什么？ 参考答案： 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题；直线与圆． 分析： 我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．进而可推断出以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船没有触礁危险． 解答： 我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系． 这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302① 轮船航线所在直线l的方程为，即4x+7y﹣280=0② 如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向． 由于圆心O（0，0）到直线l的距离d=＞30， 所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将没有触礁危险，不用改变航向． 点评： 本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．解题的关键是看圆与直线是否有交点． 19. （本题满分12分）  已知. （1）若的夹角为45°，求； （2）若，求与的夹角． 参考答案： 解：（1）    ......................................... 6分 （2）∵，  ∴ ..................................  10分 ∴，又∵  ∴       ......................................................... ......... ... 12分 略 20. 分别求出适合下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过点P（﹣3，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； （Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程． 【分析】（Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可． 【解答】解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1， 将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0． 当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0， 综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（6分） （Ⅱ）有解得交点坐标为（1，）， 当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0， 由A、B两点到直线l的距离相等得， 解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件． 所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…（12分） 【点评】本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题． 21. (12分) 已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=(an+1)2. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值； 参考答案： (1)因为(an+1)2=4Sn,所以Sn=,Sn+1=. 所以Sn