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安徽省亳州市赵楼中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设是平面内的两条不同直线;是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知实数x,y满足0≤x≤2π,|y|≤1则任意取期中的x,y使y>cosx的概率为( )
A. B. C. D. 无法确定
参考答案:
B
3. 非零向量满足,则与夹角为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
4. 已知函数,函数,下列关于这两个函数的叙述正确的是( )
A.是奇函数,是奇函数 B.是奇函数,是偶函数
C.是偶函数,是奇函数 D.是偶函数,是偶函数
参考答案:
B
略
5. 定义运算,则函数的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
.
作出函数图象:
故选B.
6. (5分)已知三点A(1,﹣1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,则实数a的值是()
A. 1 B. 4 C. 3 D. 不确定
参考答案:
C
考点: 三点共线.
专题: 计算题.
分析: 三点A(1,﹣1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,由AB的斜率和AC的斜率相等,求出实数a的值.
解答: ∵三点A(1,﹣1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,
∴AB的斜率和AC的斜率相等,
即 =,
∴a=3,
故选 C.
点评: 本题考查三点共线的性质,当三点共线时,任意两点连线的斜率都相等.
7. 已知,则 ( )
A. B. 8 C. 3 D .-3
参考答案:
C
略
8. 设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是 ( )
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
参考答案:
B
9. 已知圆与圆关于直线对称,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 满足的所有集合的个数为 。
参考答案:
4
12. 已知集合A={﹣1}且A∪B={﹣1,3},请写出所有满足条件B的集合 .
参考答案:
{3}或{﹣1,3}
【考点】集合的含义.
【分析】由题意列举集合B的所有可能情况.
【解答】解:集合A={﹣1},A∪B={﹣1,3},
所以B至少含有元素3,
所以B的可能情况为:{3}或{﹣1,3}.
故答案是:{3}或{﹣1,3}.
13. 下面命题:①先后投掷两枚骰子,出现点数相同的概率是;②自然数中出现奇数的概率小于出现偶数的概率;③三张卡片的正、反面分别写着1、2;2、3;3、4,从中任取一张正面为1的概率为;④同时抛掷三枚硬币,其中“两枚正面朝上,一枚反面朝上”的概率为,其中正确的有(请将正确的序号填写在横线上) 。
参考答案:
①
14. 已知且,则的值是 .
参考答案:
15. 函数 的图象必过定点, 点的坐标为_________.
参考答案:
略
16. 函数f(x)=的定义域为 。
参考答案:
(2,3)
17. 已知函数f(x)=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点,则a的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)
【考点】指数函数的图像变换.
【专题】计算题;作图题.
【分析】画出函数f(x)=|2x﹣1|的图象,根据图象即可得到函数f(x)=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点时,a的取值范围.
【解答】解:f(x)=|2x﹣1|的图象如下图所示:
由图可知:当0<a<1时,函数f(x)=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点,
故答案为:(0,1)
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据指数函数的图象及函数图象的变换法则,得到函数f(x)=|2x﹣1|的图象,数形结合即可得到答案.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在锐角△ABC中,角的对边分别为,边上的中线,且满足.
(1)求的大小;
(2)若,求的周长的取值范围.
参考答案:
(1)在中,由余弦定理得:, ①
在中,由余弦定理得:, ②
因为,所以,
①+②得:, ……………… 4分
即, 代入已知条件,
得,即, ……………… 6分
,
又,所以. ……………… 8分
(2)在中由正弦定理得,又,
所以, ,
∴, ……………… 10分
∵为锐角三角形,
∴ ……………… 12分
∴,∴.
∴周长的取值范围为. ……………… 16分
19. (本题满分12分,第1问5分,第2问7分)
已知函数是二次函数,不等式的解集为,且在区间上的最小值是4.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设,若对任意的,均成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)解集为,设,且
对称轴,开口向下,,解得,;……5分
(Ⅱ),恒成立
即对恒成立
化简, 即对恒成立……8分
令,记,则,
二次函数开口向下,对称轴为,当时,故………………10分
,解得或……………………………………………………12分
20. (本小题16分) 已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0. 5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.
(1)根据以上数据,求函数y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
参考答案:
21. 已知向量与互相垂直,其中θ∈(0,π).
(Ⅰ)求tanθ的值;
(Ⅱ)若,,求cosφ的值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的化简求值.
【分析】(Ⅰ)根据向量垂直关系的坐标建立等式,可得tanθ的值.
(Ⅱ)利用θ∈(0,π)和tanθ的值求解sinθ和cosθ的值.构造思想,cosφ=cos[θ﹣(θ﹣φ)]=cosθcos(θ﹣φ)+sinθsin(θ﹣φ)可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由题意,向量与互相垂直,即与互相垂直,
∴,
∴tanθ=﹣2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知2cosθ+sinθ=0,sin2θ+cos2θ=1,
解得:
∵θ∈(0,π),
又由(Ⅰ)知tanθ=﹣2<0,
∴.
∴.
∵
,
∴
∴cosφ=cos[θ﹣(θ﹣φ)]=cosθcos(θ﹣φ)+sinθsin(θ﹣φ)=.
22. 函数是R上的偶函数,且当时,函数的解析式为
(1)求的值; (2)用定义证明在上是减函数;
(3)求当时,函数的解析式;
参考答案:
解析: (1).因为是偶函数,所以;
(2)设则,所以,又为偶函数,所以
=.
(3) 设x1,x2是(0,+∞)上的两个任意实数,且x1 < x2,
则x= x1- x2<0,y = f (x1)- f (x2) =-2- (-2) =-=.
因为x2- x1 = -x >0,x1x2 >0 , 所以y >0.
因此 f (x) =-2是(0,+∞)上的减函数.
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