广西壮族自治区南宁市壮锦学校2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市壮锦学校2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　） A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 参考答案： C 【考点】茎叶图． 【专题】概率与统计． 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可． 【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8； ∴y=8； 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15， ∴x=5． 故选：C． 【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 2. 的边上的高线为，，，且，将沿折成大小为的二面角，若，则此时是（    ） Ａ．锐角三角形   Ｂ．钝角三角形  Ｃ．直角三角形   Ｄ．形状与，的值有关的三角形 参考答案： C 略 3. 双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作斜率是的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 A．          B．          C．        D． 参考答案： B 将x=c代入双曲线的方程得y= 即M（c，）在△MF1F2中，   4. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(　　) A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形   D．由增加的长度决定 参考答案： A 5. 函数是偶函数，且在（0，2）上是增函数，则（   ） A．            B． C．        D． 参考答案： B 略 6. 若直线与圆相切，则a等于（    ） A. 0或－4 B. －2或－4 C. 0或2 D. －2或2 参考答案： A 【分析】 根据圆的方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，从而构造出方程，解方程求得结果. 【详解】由题意可知：圆心为，半径 直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即 解得：或 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线与圆相切求解参数的值，关键是明确直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径. 7. 直线垂直于直线，则的值是    A．           B．           C．            D． 参考答案： B 略 8. 设R且满足，则的最小值等于 （A）        （B）            （C）        （D） 参考答案： B 略 9. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答． 【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=． 故选C． 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型． 10. 已知随机变量满足ξ～B（n,p），且E (ξ)=12，D (ξ)= ，则n和p分别为                                                     （ ） A.16与        B.20与        C.15与           D.15与 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，两曲线，围成图面积__________． 参考答案： 试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为：. 考点：定积分. 12. 已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题： （A）      对任意实数k与q，直线l和圆M相切； （B）      对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点； （C）      对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； （D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） 参考答案： （B）（D） 13. 正方体中，二面角的大小为__________． 参考答案： 14. 直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________. 参考答案： 略 15. 若复数为纯虚数，则t的值为   ▲      。 参考答案： 16. 某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为          参考答案： 17. 频率分布直方图中各小矩形面积的和等于____________ 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数. （1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围. （2）对于恒成立，求m的取值范围. 参考答案： （1）①时，符合题意② 综上可知 （2）恒成立，令 ①时，符合题意②时，对称轴，当时，满足：    当时，满足： 综上可知： 19. 设计算法流程图，要求输入自变量的值，输出函数  的值 参考答案： 20. 设函数f（x）=lnx+，m∈R． （Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值； （Ⅱ）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h（x）的图象，由图象即可得到零点个数． 【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞）． f′（x）=﹣= 令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e． 故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2． （Ⅱ）g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，其定义域为（0，+∞）． 令g（x）=0，得m=﹣x3+x． 设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数． h′（x）=﹣x2+1=﹣（x+1）（x﹣1） x （0，1） 1 （1，+∞） h′（x） + 0 ﹣ h（x） 递增 极大值 递减 故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=． 作出h（x）的图象， 由图象可得， ①当m＞时，g（x）无零点；                                               ②当m=或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；                              ③当0＜m＜时，g（x）有两个零点． 【点评】本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题． 21. 已知函数f（x）对任意实数a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）成立． （1）求f（0）与f（1）的值； （2）求证：f（）=﹣f（x）； （3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均为常数），求f（36）的值． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）分别令a=b=0和a=b=1，即可求f（0）与f（1）的值； （2）根据条件即可证明f（）=﹣f（x）； （3）根据抽象函数的关系进行转化即可求f（36）的值． 【解答】解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b）， ∴令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）， 即f（0）=0， 令a=b=1， 则f（1）=f（1）+f（1）， 即f（1）=0； 证明：（2）∵?x=1， ∴f（）+f（x）=f（?x）=f（1）=0， 则f（）=﹣f（x）； （3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均为常数）， 则f（2）+f（3）=f（2×3）=f（6）， 即f（6）=p+q， 则f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2p+2q． 【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．注意条件之间的转化和应用． 22. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=60°，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）． （Ⅰ）求证：AC⊥平面ABC′； （Ⅱ）求证：C′N∥平面ADD′； （Ⅲ）求二面角A﹣C′N﹣C的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）由梯形的性质和N是BC的中点可得四边形ANCD是平行四边形，得到AN=DC；利用等腰梯形可得AN=AB，又∠ABC=60°，得到△ABN是等边三角形，于是AN=BN=NC，由出可得△ABC是直角三角形，即AC⊥AB，再利用面面垂直的性质即可得到结论； （Ⅱ）由已知可得：AD∥BC，AD′∥BC′，利用面面平行的判定定理即可得出； （Ⅲ）如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的一余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵，N是BC的中点， ∴AD=NC，又AD∥BC， ∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN=DC． 又∵等腰梯形，∴AN=AB． 又∠ABC=60°， ∴△ABN是等边三角形． ∴， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°． ∴AC⊥AB． ∵平面C′BA⊥平面ABC， ∴AC⊥平面ABC′． （Ⅱ）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′， AD′∩AD=A，BC∩BC′=B， ∴平面ADD′∥平面BCC′， ∴C′N∥平面ADD′． （Ⅲ）∵AC⊥平面ABC′， 同理AC′⊥平面ABC，建立如图如示坐标系 设AB=1， 则B（1，0，0），C，，， 则，． 设平面C′NC的法向量为， 则，即， 令z=1，则x=，y=1，得． ∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC． 又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC=AN， ∴BD⊥平面C′AN， 设BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O． 所以平面C′AN的法向量．           ∴=． 由图形可知二面角A﹣C′N﹣C为钝角． 所以二面角A﹣C′N﹣C的余弦值为． 【点评】熟练掌握等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形及直角三角形的判定