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河北省衡水市深县北土路口乡中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AD⊥BC,D为垂足,以AD为折痕,将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,如图所示,有下列结论:①BD⊥CD;②BD⊥AC;③AD⊥面BCD;④△ABC是等边三角形;其中正确的结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】2K:命题的真假判断与应用;LO:空间中直线与直线之间的位置关系;LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】根据在折叠后,AD与BD、CD的垂直性不变来判断AD与平面BCD的垂直,判断③是否正确;
利用题设条件△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面,来判断BD与CD的垂直关系,从而判断①的正确性;
利用三垂线定理,判断BD与AC的垂直关系,判断②是否正确;
再根据得到的垂直关系,计算△ABC的各边长,来判断△的形状,从而判断④是否正确
【解答】解:∵将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面,∵AD⊥BD,AD⊥CD,∴∠SDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角,∴BD⊥CD,①正确;
∵AD⊥BD,AD⊥CD,∴AD⊥平面BCD,CD是AC在平面BCD内的射影,由三垂线定理得BD⊥AC,∴②③正确;
∵D是中点,∴AD=BD=CD,设AD=1,由①得AC=AB=BC=,故④正确.
故选D
2. 在等差数列{an}中,a3=0,a7﹣2a4=﹣1,则公差d等于( )
A.﹣2 B. C.2 D.﹣
参考答案:
D
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.
【解答】解:∵a3=0,a7﹣2a4=﹣1,
∴a1+2d=0,a1+6d﹣2(a1+3d)=﹣1,
∴a1=1,d=﹣,
故选:D.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3. 已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最大值,则函数y=f(x+)是( )
A.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点(,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点(,0)对称
D.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
参考答案:
B
【考点】三角函数的最值.
【分析】将已知函数变形f(x)=asinx﹣bcosx=sin(x﹣φ),根据f(x)=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值,求出φ的值,化简函数,即可得出结论.
【解答】解:将已知函数变形f(x)=asinx﹣bcosx=sin(x﹣φ),其中tanφ=,
又f(x)=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值,
∴﹣φ=2kπ+(k∈Z)得φ=﹣﹣2kπ(k∈Z),
∴f(x)=sin(x+),
∴函数y=f(x+)=sin(x+)=cosx,
∴函数是偶函数且它的图象关于点(,0)对称.
故选:B.
4. 已知函数y=tan(2x+)()的对称中心是点,则的值是( )
A.- B. C.- 或 D.或
参考答案:
C
略
5. 已知,则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )
A.8- B.8-
C.8-2π D.
参考答案:
A
7. 函数的图像一定经过点 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
8. 已知,则的最小值是( )
A. B. C. 5 D. 4
参考答案:
A
【分析】
二元变量求最值,可以利用基本不等式求最值,
考虑连续多次使用不等式等号条件不一致,所以将化成,
代入运算,即可求出最值。
【详解】解:∵a>0,b>0,a+b=2,
∴y()(a+b)(1+4)(5+2),
当且仅当b=2a时等号成立,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的基本应用,要熟悉“1”的代换技巧。
9. 函数的图象如图所示,则函数的减区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 当0<a<1时,在同一坐标系中,函数与的图象是( )
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,在第二象限,则 .
参考答案:
3
12. 设向量=(1,2),=(2,3),若向量λ+与向量=(﹣4,﹣7)共线,则λ= .
参考答案:
2
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】由已知条件,求出λ+,利用共线向量的充要条件列出方程,求出λ的值.
【解答】解:∵向量=(1,2),=(2,3),若向量λ+=(λ+2,2λ+3),
又向量λ+与向量=(﹣4,﹣7)共线,
∴(λ+2)×(﹣7)﹣(2λ+3)×(﹣4)=0,
∴λ=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了平面向量的应用问题,解题时按照平面向量的运算法则进行计算,即可得出正确的答案,是基础题.
13. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,令,则关于有下列命题:①的图象关于原点对称;②为偶函数;③的最小值为0; ④在(0,1)上为增函数. 其中正确命题的序号是:
--- .
参考答案:
②③④
14. 已知函数f(2x+1)=3x+2,则f(1)的值等于 .
参考答案:
2
略
15. 设奇函数的定义域为,若当时, 的图象如右图,则不等式的解是
参考答案:
解析:奇函数关于原点对称,补足左边的图象
16. 已知数列,,(),写出这个数列的前4项,并根据规律,写出这个数列的一个通项公式.
参考答案:
略
17. 已知函数为偶函数,且定义域为,则 , 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
参考答案:
19. 已知圆C:.
(1)若直线过定点,且与圆C相切,求直线的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线:上,且与圆C外切,求圆D的方程.
参考答案:
(1) 和;(2) 或
试题分析:(1)先求出圆心和半径,然后分成直线斜率存在或不存在两种情况,利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.(2)设出圆圆心坐标,利用两圆外切,连心线等于两圆半径的和列方程,可求得的值,从而求得圆的方程.
试题解析:
(1)圆化为标准方程为,所以圆的圆心为,半径为,①若直线的斜率不存在,即直线是,符合题意.
②若直线的斜率存在,设直线的方程为,即.由题意知,圆心到已知直线的距离等于半径,所以,即,解得,所以,直线方程为,综上,所求的直线方程是和.
(2) 依题意设,又已知圆的圆心为,半径为,由两圆外切,可知,,解得或,或,所求圆的方程为或.
20. 已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|m<x<m+8}.
(1)若A?B,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=?,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用.
【专题】集合.
【分析】(1)由集合A={x|﹣1<x<2},B={x|m<x<m+8}得:若A?B,则,解得实数m的取值范围;
(2)若A∩B=?,则m+8≤﹣1或m≥2,解得实数m的取值范围.
【解答】解:(1)∵集合A={x|﹣1<x<2},B={x|m<x<m+8}.
若A?B,则
解得:m∈[﹣6,﹣1],
∴实数m的取值范围是[﹣6,﹣1]
(2)若A∩B=?,则m+8≤﹣1或m≥2
即m∈(﹣∞,﹣9]∪[2,+∞)
【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算,集合包含关系的判断及应用,其中将已知集合关系转化为关于m的不等式(组),是解答的关键.
21. 已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数,求函数的零点.
参考答案:
解:(1)要使函数有意义,x必须满足,∴,
因此,的定义域为(-1,1).
(2)函数为奇函数.
∵的定义域为(-1,1),对(-1,1)内的任意x有:
,
所以,为奇函数.
(3)函数的零点即方程的根.即的根,
又为奇函数,所以.
任取,且,
∵,∴,∴
∵且,∴,
∴,∴,
∴,即,∴在定义域上为增函数,
∴由得解得或,
验证当时,不符合题意,当时,符合题意,
所以函数的零点为.
22. 已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式;
(3)求函数g(x)=|logax﹣1|的单调区间.
参考答案:
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】(1)根据对数函数的性质求出a的范围,根据函数的单调性得到loga(2a)﹣logaa=1,求出a的值即可;
(2)根据函数的单调性得到关于x的不等式组,解出即可;
(3)通过讨论x的范围,求出函数的单调区间即可.
【解答】解:(1)∵loga3>loga2,∴a>1,
又∵y=logax在[a,2a]上为增函数,
∴loga(2a)﹣logaa=1,∴a=2.
(2)依题意可知解得,
∴所求不等式的解集为.
(3)∵g(x)=|log2x﹣1|,
∴g(x)≥0,当且仅当x=2时,g(x)=0,
则
∴函数在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,
g(x)的减函数为(0,2),增区间为(2,+∞).
【点评】本题考查了对数函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道中档题.
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