河北省衡水市深县北土路口乡中学高一数学理期末试题含解析

河北省衡水市深县北土路口乡中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥面BCD；④△ABC是等边三角形；其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】根据在折叠后，AD与BD、CD的垂直性不变来判断AD与平面BCD的垂直，判断③是否正确； 利用题设条件△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，来判断BD与CD的垂直关系，从而判断①的正确性； 利用三垂线定理，判断BD与AC的垂直关系，判断②是否正确； 再根据得到的垂直关系，计算△ABC的各边长，来判断△的形状，从而判断④是否正确 【解答】解：∵将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠SDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，∴BD⊥CD，①正确； ∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，CD是AC在平面BCD内的射影，由三垂线定理得BD⊥AC，∴②③正确； ∵D是中点，∴AD=BD=CD，设AD=1，由①得AC=AB=BC=，故④正确． 故选D 2. 在等差数列{an}中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（　　） A．﹣2 B． C．2 D．﹣ 参考答案： D 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵a3=0，a7﹣2a4=﹣1， ∴a1+2d=0，a1+6d﹣2（a1+3d）=﹣1， ∴a1=1，d=﹣， 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最大值，则函数y=f（x+）是（　　） A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称 C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称 D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 参考答案： B 【考点】三角函数的最值． 【分析】将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），根据f（x）=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值，求出φ的值，化简函数，即可得出结论． 【解答】解：将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），其中tanφ=， 又f（x）=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值， ∴﹣φ=2kπ+（k∈Z）得φ=﹣﹣2kπ（k∈Z）， ∴f（x）=sin（x+）， ∴函数y=f（x+）=sin（x+）=cosx， ∴函数是偶函数且它的图象关于点（，0）对称． 故选：B． 4. 已知函数y＝tan(2x＋)（）的对称中心是点，则的值是(　　) A．－  B.        C．－ 或 D.或 参考答案： C 略 5. 已知，则的值等于(        )  A．                     B．              C．                   D． 参考答案： A 6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　　) A．8－        B．8－ C．8－2π        D． 参考答案： A 7. 函数的图像一定经过点 （   ） A、       B、        C、         D、 参考答案： C 8. 已知，则的最小值是（　　） A. B. C. 5 D. 4 参考答案： A 【分析】 二元变量求最值，可以利用基本不等式求最值， 考虑连续多次使用不等式等号条件不一致，所以将化成， 代入运算，即可求出最值。 【详解】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝2， ∴y（）（a+b）（1+4）（5+2）， 当且仅当b＝2a时等号成立， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的基本应用，要熟悉“1”的代换技巧。 9. 函数的图象如图所示，则函数的减区间是(      ) A.     B.        C.    D.  参考答案： A 略 10. 当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数与的图象是(    ) 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，在第二象限，则            . 参考答案： 3 12. 设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=　 　． 参考答案： 2 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】由已知条件，求出λ+，利用共线向量的充要条件列出方程，求出λ的值． 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+=（λ+2，2λ+3）， 又向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线， ∴（λ+2）×（﹣7）﹣（2λ+3）×（﹣4）=0， ∴λ=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时按照平面向量的运算法则进行计算，即可得出正确的答案，是基础题． 　 13. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于有下列命题：①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为0； ④在(0，1)上为增函数. 其中正确命题的序号是: --- . 参考答案： ②③④ 14. 已知函数f(2x+1)=3x+2，则f(1)的值等于           . 参考答案： 2 略 15. 设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是          参考答案：    解析：奇函数关于原点对称，补足左边的图象 16. 已知数列，，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式. 参考答案： 略 17. 已知函数为偶函数，且定义域为，则        ，        。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 参考答案： 19. 已知圆C：. （1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线：上，且与圆C外切，求圆D的方程. 参考答案： (1) 和;(2) 或 试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.（2）设出圆圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得的值，从而求得圆的方程. 试题解析： (1)圆化为标准方程为，所以圆的圆心为，半径为，①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意. ②若直线的斜率存在,设直线的方程为，即.由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径，所以，即，解得，所以，直线方程为，综上，所求的直线方程是和. (2) 依题意设，又已知圆的圆心为，半径为，由两圆外切，可知，，解得或，或，所求圆的方程为或. 20. 已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}． （1）若A?B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B=?，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用． 【专题】集合． 【分析】（1）由集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}得：若A?B，则，解得实数m的取值范围； （2）若A∩B=?，则m+8≤﹣1或m≥2，解得实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}． 若A?B，则 解得：m∈[﹣6，﹣1]， ∴实数m的取值范围是[﹣6，﹣1] （2）若A∩B=?，则m+8≤﹣1或m≥2 即m∈（﹣∞，﹣9]∪[2，+∞） 【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，集合包含关系的判断及应用，其中将已知集合关系转化为关于m的不等式（组），是解答的关键． 21. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若函数，求函数的零点. 参考答案： 解：（1）要使函数有意义，x必须满足，∴， 因此，的定义域为(－1,1). （2）函数为奇函数. ∵的定义域为(－1,1)，对(－1,1)内的任意x有： ， 所以，为奇函数. （3）函数的零点即方程的根.即的根， 又为奇函数，所以. 任取，且， ∵，∴，∴ ∵且，∴， ∴，∴， ∴，即，∴在定义域上为增函数， ∴由得解得或， 验证当时，不符合题意，当时，符合题意， 所以函数的零点为.     22. 已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1． （1）求a的值； （2）解不等式； （3）求函数g（x）=|logax﹣1|的单调区间． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）根据对数函数的性质求出a的范围，根据函数的单调性得到loga（2a）﹣logaa=1，求出a的值即可； （2）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可； （3）通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：（1）∵loga3＞loga2，∴a＞1， 又∵y=logax在[a，2a]上为增函数， ∴loga（2a）﹣logaa=1，∴a=2． （2）依题意可知解得， ∴所求不等式的解集为． （3）∵g（x）=|log2x﹣1|， ∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0， 则 ∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数， g（x）的减函数为（0，2），增区间为（2，+∞）． 【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．