2022-2023学年福建省三明市沙县第三中学高一数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年福建省三明市沙县第三中学高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，下列从A到B的对应关系f不是映射的是（    ） A．      B． C．       D． 参考答案： C 略 2. 已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2，3，4，则该长方体的外接球的表面积等于（　　） A．13π B．25π C．29π D．36π 参考答案： C 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可球的表面积． 【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱a，b，c的长分别为3，4，5， 得a2+b2+c2=29． 于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=29． 故外接球的表面积为S=4πR2=29π． 故选C． 【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能力． 3. 已知，则的值为（     ） A．       B．    C．       D． 参考答案： B 略 4. 在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是： 2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，那么这个小组的平均分是(    ) A．97.2        B．87.29 C．92.32 D．82.86 参考答案： B 5. 设，向量且 ，则 A．          B. C.        D.10 参考答案： B 由题意可知：，则，   6. 若幂函数y=f（x）的图象经过点（，3），则该幂函数的解析式为（　　） A．y=x﹣1 B．y=x C．y=x D．y=x3 参考答案： A 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】利用幂函数的形式设出f（x），将点的坐标代入求出函数的解析式． 【解答】解：∵f（x）是幂函数 设f（x）=xα ∴图象经过点（，3）， ∴3=， ∴α=﹣1 ∴f（x）=x﹣1 故选：A． 【点评】本题考查利用待定系数法求知函数模型的解析式． 7. 数列的一个通项公式为（     ） A．     B．     C．     D． 参考答案： A 略 8. 已知函数是奇函数且当时是减函数，若f(1)=0，则函数的零点共有（ ） A．4个         B．5个       C. 6个         D．7个 参考答案： D 9. 设是方程的解，则在下列哪个区间内（    ） A．(0,1)      B．(1,2)   C．(2,3)        D．(3,4) 参考答案： B 构造函数，∵， ，∴函数的零点属于区间，即属于区间.   10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： D 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】先分析出BD1在面ADD1A1上的射影是AD1，再根据其为正方体得到AD1⊥A1D；最后结合三垂线定理及其逆定理的内容即可得出结论． 【解答】解：因为BD1在面ADD1A1上的射影是AD1， 又因为其为正方体 所以有：AD1⊥A1D． 再根据三垂线定理中的：面内的一条直线和射影垂直，则此面内的该线就和此面对应的斜线垂直． 所以有：BD1⊥A1D   即：异面直线BD1与A1D所成的角等于90° 故选：D． 【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法以及三垂线定理的应用．解决本题可以用三垂线定理和其逆定理；也可以通过平移把异面直线转化为相交直线来求解． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二次函数的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6        则不等式的解集是            。 参考答案： 或 12. 设函数则成立的x的取值范围为____． 参考答案： 【分析】 分和两种情况解不等式，求出的解集再求并集即可. 【详解】或 或或，故答案为. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，与分段函数有关的不等式，通常需要用分类讨论的思想来解决，属于基础题型. 13. 若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是               参考答案： 14. 把球的表面积扩大到原来的4倍,那么体积扩大到原来的　  　倍.  参考答案： 8 15. 已知幂函数f（x）=x（k∈Z）满足f（2）＜f（3），若函数g（x）=1﹣q，f（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上是减函数，则非负实数q的取值范围是　　． 参考答案： 0≤q≤ 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】先表示出函数g（x）的表达式，结合函数的单调性通过讨论q的范围，从而得到答案． 【解答】解：依题意可知，﹣k2+k+2＞0，解得：﹣1＜k＜2， 又k∈Z，所以k=0或1，则﹣k2+k+1=2， 所以：f（x）=x2． g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，（q≥0）， 当q=0时，g（x）=﹣x+1在[﹣1，2]单调递减成立； 当q＞0时，g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1开口向下，对称轴右侧单调递减， 所以≤﹣1，解得0＜q≤； 综上所述，0≤q≤， 故答案为：0≤q≤． 【点评】本题考查了函数解析式的求法，考查函数的单调性问题，是一道基础题． 16. （5分）函数f（x）=log2x，则f（3）+f（）=         ． 参考答案： 3 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接利用函数的解析式，求解函数值即可． 解答： 函数f（x）=log2x，则f（3）+f（）=log23+log2=log23+log28﹣log23=3． 故答案为：3． 点评： 本题考查函数值的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力． 17. 设函数f（x）=，则f（f（））=　   　． 参考答案： 1 【考点】函数的值． 【分析】先求出==4，从而f（f（））=f（4），由此能求出结果． 【解答】解：∵f（x）=， ∴==4， f（f（））=f（4）==1． 故答案为：1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】几何体为圆台挖去一个圆锥，求出圆台和圆锥的底面半径，高和母线，代入面积公式和体积公式计算即可． 【解答】解：作CE⊥AB于E，作DF⊥CE于F， 则AE=AD=2，CE=4，BE=3，∴BC=5， 四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥， 其中，圆台的上下底面半径为r1=2，r2=5，高为4，母线l=5， 圆锥的底面半径为2，高为2，母线l′=2， ∴几何体的表面积S=25π+π×2×5+π×5×5+=60π+4π． 几何体的体积V=（25π+4π+）×4﹣×4π×2=． 19. 化简计算． （1）；其中． （2）． （3）． （4）． 参考答案： （1）．（2）．（3）．（4）． （）原式 ． （）原式 ． （）原式 ． （）原式 ． 20. 椭圆方程为的一个顶点为，离心率。 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于不同的两点且P（2,1）为MN中点，求直线的方程。 参考答案： （1）　（6分）　（2）　（14分） 21. （12分）已知线段AB的端点B坐标是（3，4），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程． 参考答案： 考点： 轨迹方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 利用M、N为AB、PB的中点，根据三角形中位线定理得出：MN∥PA且MN=PA=1，从而动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆．最后写出其轨迹方程即可． 解答： 圆（x+1）2+y2=4的圆心为P（﹣1，0），半径长为2， 线段AB中点为M（x，y） 取PB中点N，其坐标为N（1，2） ∵M、N为AB、PB的中点， ∴MN∥PA且MN=PA=1． ∴动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆． 所求轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1． 点评： 本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法是若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求． 22. 若0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】y=﹣3×2x+5=（2x）2﹣3×2x+5，令2x=t，转化为关于t的二次函数，在t的范围内即可求出最值． 【解答】解：y=﹣3×2x+5=（2x）2﹣3×2x+5 令2x=t，则y=t2﹣3t+5=+， 因为x∈[0，2]，所以1≤t≤4， 所以当t=3时，ymin=， 当t=1时，ymax=． 所以函数的最大值为，最小值为． 【点评】本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题，本题运用了转化思想．