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河北省邯郸市德政中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知sinα=,且tanα<0,则cos(π+α)=( )
A.﹣ B. C. D.﹣
参考答案:
B
【考点】同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.
【分析】由已知可求cosα<0,进而利用同角三角函数基本关系式,诱导公式即可计算得解.
【解答】解:∵sinα=>0,且tanα=<0,
∴cosα=﹣=﹣,
∴cos(π+α)=﹣cosα=.
故选:B.
2. 已知,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 若,则的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
参考答案:
D
【分析】
根据对数运算可求得且,,利用基本不等式可求得最小值.
【详解】由得:且,
(当且仅当时取等号)
本题正确选项:D
【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题,关键是能够利用对数运算得到积的定值,属于基础题.
4. 设a,b∈R,且,则的最小值是 ( )
(A)2 (B)4 (C)2 (D)4
参考答案:
D
略
5. 设,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,AD=6,PA⊥底面ABCD,E是PD上的动点.若CE∥平面PAB,则三棱锥C﹣ABE的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出三棱锥C﹣ABE的体积.
【解答】解:以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(6,0,0),P(0,0,3),
设E(a,0,c),,则(a,0,c﹣3)=(6λ,0,﹣3λ),
解得a=6λ,c=3﹣3λ,∴E(6λ,0,3﹣3λ),
=(6λ﹣2,﹣2,3﹣3λ),
平面ABP的法向量=(1,0,0),
∵CE∥平面PAB,∴=6λ﹣2=0,
解得,∴E(2,0,2),
∴E到平面ABC的距离d=2,
∴三棱锥C﹣ABE的体积:
VC﹣ABE=VE﹣ABC===.
故选:D.
7. 已知函数,若,则a取值范围是
(A)[-3,0] (B) (-∞,1] (C)(-∞,0] (D) [-3,1]
参考答案:
A
8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 若点在函数的图象上,则的值为( )
A.0 B.
C.1 D.
参考答案:
D
10. △ABC中,∠C=120°,是方程的两根,则的值为( )
A. B.7 C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算:= .
参考答案:
4
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】利用指数的运算法则即可得出.
【解答】解:原式=2﹣+1
=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了指数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
12. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,S7=3(a1+a9)则的值为 .
参考答案:
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列的通项公式、前n项和公式得到a1=3d,由此能求出的值.
【解答】解:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,S7=3(a1+a9),
∴,
解得a1=3d,∴===.
故答案为:.
13. 幂函数当时为减函数,则实数m的值为 .
参考答案:
2
14. 若函数对一切,都有,且则___________.
参考答案:
略
15. 在⊿ABC中,若sinA:sinB:sinC =3:5:7,则∠C等于 ▲
参考答案:
120o
16. 求函数f(x)=x2﹣2x+3,x∈[﹣1,2]的值域 .
参考答案:
[2,6]
【考点】二次函数在闭区间上的最值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】首先把二次函数的一般式转化成顶点式,进一步求出对称轴方程利用定义域和对称轴方程的关系求的结果.
【解答】解:函数f(x)=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2
所以:函数为开口方向向上,对称轴为x=1的抛物线
由于x∈[﹣1,2]
当x=1时,f(x)min=f(1)=2
当x=﹣1时,f(x)max=f(﹣1)=6
函数的值域为:[2,6]
故答案为:[2,6]
【点评】本题考查的知识要点:二次函数一般式与顶点式的互化,对称轴和定义域的关系,函数的最值.
17. 已知数列成等差数列,且,则=
参考答案:
-
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知各项为正的数列{an}满足,.
(1)若,求,,的值;
(2)若,证明:.
参考答案:
解:(1),,∴,又数列各项为正.
∴,;
,;
,.
(2)时,.
(i)先证:.
∵,∴,
∴与同号,又,∴,∴.
(ii)再证:.
∵,∴,∴,
当时,,
∴,
∴.又,∴.
19. (本题满分12分) 如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
(1)求证:直线MF∥平面ABCD;
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
参考答案:
(1)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.
∵F是BB1的中点,
∴F为C1N的中点,B为CN的中点.
又∵M是线段AC1的中点,
∴MF∥AN.
又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
(2)连接BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可知,A1A⊥平面ABCD,
又∵BD平面ABCD,
∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN,且DA=BN,
∴四边形DANB为平行四边形,
∴NA∥BD,
∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
20. 已知函数f(x)=log3.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)当x∈[﹣,]时,函数g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.
参考答案:
【答案】
【解析】
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)根据对数式的真数部分大于0,构造关于x的不等式,解不等式可得函数f(x)的定义域;
(II)根据函数的定义域关于原点对称,且f(﹣x)=﹣f(x),结合函数奇偶性的定义,可得结论;
(III)当x∈[﹣,]时,先求出真数部分的取值范围,进而可得函数g(x)的值域.
【解答】解:(I)要使函数f(x)=log3的解析式有意义,
自变量x须满足:>0,
解得x∈(﹣1,1),
故函数f(x)的定义域为(﹣1,1),
(II)由(I)得函数的定义域关于原点对称,
且f(﹣x)=log3=log3()﹣1=﹣log3=﹣f(x).
故函数f(x)为奇函数,
(III)当x∈[﹣,]时,
令u=,则u′=﹣<0,
故u=在[﹣,]上为减函数,
则u∈[,3],
又∵g(x)=f(x)=log3u为增函数,
故g(x)∈[﹣1,1],
故函数g(x)的值域为[﹣1,1].
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,函数的定义域,值域,奇偶性,解分式不等式,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
21. 在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(﹣1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.
参考答案:
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】设缉私船追上走私船需t小时,进而可表示出CD和BD,进而在△ABC中利用余弦定理求得BC,进而在△BCD中,根据正弦定理可求得sin∠BCD的值,进而求得∠BDC=∠BCD=30°进而求得BD,进而利用BD=10t求得t.
【解答】解:如图所示,设缉私船追上走私船需t小时,
则有CD=,BD=10t.在△ABC中,
∵AB=﹣1,AC=2,
∠BAC=45°+75°=120°.
根据余弦定理可求得BC=.
∠CBD=90°+30°=120°.
在△BCD中,根据正弦定理可得
sin∠BCD=,
∵∠CBD=120°,∴∠BCD=30°,∠BDC=30°,
∴BD=BC=,则有
10t=,t==0.245(小时)=14.7(分钟).
所以缉私船沿北偏东60°方向,需14.7分钟才能追上走私船.
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题.
22. 二次函数满足,且.
(1)求函数的解析式;
(2)在区间上的图象恒在的图象上方,试确定实数的范围.
参考答案:
(1)根据题意,可设
,即
(2)(数形结合)画出函数, 的图象
略
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