2022年安徽省淮南市桂集中学高一数学理月考试题含解析

2022年安徽省淮南市桂集中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　） A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）] 参考答案： B 【考点】函数与方程的综合运用． 【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可． 【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1）， 不妨令f（x）=x，a=2， 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x， sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确， sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确； 对于D，令f（x）=x+1，a=2， 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x， sgn[f（x）]=sgn（x+1）=； sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=， ﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确； 故选：B． 2. 同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为(    ) A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率. 【详解】同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有： 共有36种，点数之和为5的基本事件有：共4种； 所以所求概率为.故选C. 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 3. （5分）角α满足条件sinα?cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 参考答案： C 考点： 三角函数值的符号． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： sinα?cosα＞0得到sinα和cosα同号；再结合sinα+cosα＜0即可得到sinα＜0，cosα＜0；进而得到结论． 解答： 解：因为sinα?cosα＞0 ∴sinα和cosα同号． 又∵sinα+cosα＜0 ∴sinα＜0，cosα＜0． 即α的正弦和余弦值均为负值． 故α的终边在第三象限． 故选：C． 点评： 本题主要考查三角函数值的符号和象限角．是对基础知识的考查，要想做对，需要熟练掌握三角函数值的符号的分布规律． 4. 已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（　　） A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=x2﹣2x+1 C．f（x）=x2+2x﹣1 D．f（x）=x2﹣2x﹣1 参考答案： A 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】计算题． 【分析】由函数f（x）的解析式，由于x=（x+1）﹣1，用x+1代换x，即可得f（x）的解析式． 【解答】解：∵函数f（x﹣1）=x2 ∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2 =x2+2x+1 故选A． 【点评】本题主要考查了函数解析式的求法及其常用方法，同时考查了整体代换思想，属于基础题． 5. 参考答案： 6. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是（   ） A. 6 B. C. 4 D. 参考答案： B 【分析】 将圆锥侧面展开，根据平面上两点之间线段最短，可求得答案. 【详解】圆锥的底面半径为,故底面周长为4πcm, 圆锥的主视图是等边三角形,可知圆锥的母线长为4，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，故,蚂蚁沿表面爬行到处的最短路程为, 故选：B 【点睛】 本题考查圆锥侧面展开图中最短路径问题，把曲面问题转为平面问题解决，考查弧长公式的应用，是基础题． 7. 已知，不等式的解集是(－1,3)，若对于任意，不等式恒成立，则t的取值范围（   ） A. (－∞,2] B. (－∞,－2] C. (－∞,－4] D. (－∞,4] 参考答案： B 【分析】 由不等式的解集是，可得b、c的值,代入不等式f（x）+t≤4后变量分离得t≤2x2﹣4x﹣2，x∈[﹣1，0]，设g（x）＝2x2﹣4x﹣2，求g(x)在区间[﹣1，0]上的最小值可得答案． 【详解】由不等式的解集是可知-1和3是方程的根，,解得b=4，c=6,, 不等式化为 ， 令g（x）＝2x2﹣4x﹣2，，由二次函数图像的性质可知g(x)在上单调递减，则g（x）的最小值为g(0)=-2， 故选：B 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题. 8. 如果把直角三角形的三边都减少同样的长度，仍能构成三角形，则这个新的三角形的形状为（      ） A 锐角三角形     B 直角三角形            C 钝角三角形        D 由减少的长度决定 参考答案： C 9. 计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如用十六进制表示有D+E＝1B，则A×B=(    ) A  6E        B 7C          C 5F                  D B0 参考答案： A 略 10. 若，，则tan 2x等于(　　)． A.            B．-          C.          D．－ 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，，若，则实数应该满足的条件是      参考答案： 略 12. 如果且那么的终边在第         象限。 参考答案： 略 13. 已知函数满足：，，则_____ 参考答案： 4020。提示：=2，且 =4020 14. 若函数（）是偶函数，则实数=      参考答案： .0     略 15. 已知，，，则的最小值为________． 参考答案： 9 【分析】 由题意整体代入可得，由基本不等式可得． 【详解】由，，， 则． 当且仅当＝，即a＝3且b＝时，取得最小值9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题． 16. 函数的定义域是            参考答案： 17. 求函数的最小值为            。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 全集U=R，若集合， （1）求，, ； （2）若集合C=，，求的取值范围；（结果用区间表示） 参考答案： 解：1） ----- 3分； -----6分； -----9分 2）范围是----- 12分   略 19. 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？ 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 参考答案： 【分析】先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，结果甲的平均数大于乙的平均数，甲的方差大于乙的方差，得到结论． 【解答】解：， ， ∵ ∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡． 【点评】本题考查平均数和方差，对于两组数据一般从稳定程度和平均水平两个方面来观察两组数据，本题是一个基础题． 20. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x2． （1）求x＜0时，f（x）的解析式； （2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域． 【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，利用x≥0时，f（x）=x+x2．得到f（﹣x）=﹣x+x2，再由奇函数的性质得到f（﹣x）=﹣f（x），代换即可得到所求的解析式． （2）假设存在这样的数a，b．利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在． 【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，于是f（﹣x）=﹣x+x2， 又f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x+x2， 即x＜0时，f（x）=x﹣x2．… （2）假设存在这样的数a，b． ∵a≥0，且f（x）=x+x2在x≥0时为增函数，… ∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a﹣2，6b﹣6]， ∴… ，即… 或，考虑到0≤a＜b，且4a﹣2＜6b﹣6，… 可得符合条件的a，b值分别为… 21. 已知向量． (I) 若，求实数的值； (II) 若向量在方向上的投影为1，求实数的值. 参考答案： 解：（I）；  （II）   略 22. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域． 参考答案： 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】（Ⅰ）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围﹣＜φ＜，可求φ，从而解得函数解析式． （Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【解答】（本题满分为15分） 解：（Ⅰ）由图象知，A=2，… 又=﹣=，ω＞0， 所以T=2π=，得ω=1．… 所以f（x）=2sin（x+φ）， 将点（，2）代入，得+φ=2kπ+（k∈Z）， 即φ=+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜， 所以，φ=．… 所以f（x）=2sin（x+）． 故函数y=f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+）．… （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向右平移个单位长度， 得到的图象对应的解析式为：y=2sinx， 再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：g（x）=2sin2x，…12分 ∵x∈[﹣，]， ∴﹣≤2x≤， ∴2sin2x∈[﹣1，2]，可得：g（x）∈[﹣1，2]…15分