广西壮族自治区柳州市育红中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市育红中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，则其解析式为（　　） A． y=2sin（2x﹣） B． y=2sin（x+） C． y=2sin（x﹣） D． y=2sin（2x+） 参考答案： A 2. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（　　） A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称 参考答案： D 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性． 【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为 y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣， 故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣） 关于直线x=对称， 故选：D． 3. 由直线，曲线及轴所谓成图形的面积为 A.       B.       C.     D. 参考答案： D 4. “m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（　　） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3≤3m，解得m即可判断出结论． 【解答】解：函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3≤3m，解得m≥1． ∴“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件． 故选：C． 5. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是 （A）          （B）   （C）        （D） 参考答案： D 【考点】椭圆 【试题解析】 设 由题知：，所以 又因为所以， 所以 所以 6. 已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（    ）    A.          B.        C．        D. 参考答案： D 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．2 B．1 C． D． 参考答案： D 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC，AB⊥BC．过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O．AOBC． 【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC，AB⊥BC．过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O．AOBC． ∴该几何体的体积V=×1=． 故选：D． 8. 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、 D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则 AB的距离是（   ）                        . A．20           B．20          C．40   D．20 参考答案： D 9. 在等差数列中，，那么该数列的前14项和为 A．20         B．21         C．42       D．84 参考答案： B 略 10. 命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(   ) A.若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，若，则______________. 参考答案： 12. 在数列中，，则_________． 参考答案： 略 13. 如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_______. 参考答案： ， 略 14. 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于__________． 参考答案： 5 考点：直角三角形的射影定理． 专题：计算题；压轴题． 分析：先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求． 解答： 解：AB为圆的直径， ∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD， ∴16=8×AD， ∴AD=2， ∴半径==5 故答案为：5 点评：本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用．应熟练掌握射影定理中的公式及变形公式． 15. 已知变量x，y满足，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出最小值即可． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由，解得A（1，3）， 而求的最小值即为求的最大值， 的几何意义表示平面区域内的点与B（0，﹣1）的直线的斜率， 而KAB==4，故的最小值是：， 故答案为：． 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 16. （不等式选讲）若不等式的解集为，则实数的取值范围为          ． 参考答案： 略 17. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=　 　． 参考答案： 5 【考点】程序框图． 【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论． 【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=； 第二次运行k=3，m=； 第三次运行k=4，m=； 第四次运行k=5，m=； 退出循环． 故答案为：5． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数满足： ①；②在区间内有最大值无最小值； ③在区间内有最小值无最大值；④经过 （1）求的解析式； （2）若，求值; （3）不等式的解集不为空集，求实数m的范围. 参考答案： （1）（2）（3） 【分析】 （1）根据条件①②③可判断出和为的两条相邻的对称轴，由此可知周期，进而得到；根据条件①②知；当时，的取值不合题意，可知，此时可求出；代入点可求得，从而得到函数解析式；（2）通过已知等式可求得；利用诱导公式变形可知，根据同角三角函数平方关系求得结果；（3）设，则，将不等式解集不为空集等价于，根据二次函数图象可求得最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）由和条件②知：为的一条对称轴，且在处取得最大值 由和条件③知：为的一条对称轴，且在处取得最小值 综合条件①②③可知和为相邻对称轴 ，解得： 若，则，即 不符合    ，即 又    由条件④知：，解得： （2）由（1）知，    （3）    令，则不等式可表示为： 又    不等式有解，则，解得： 即不等式的解集不为空集时， 【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、利用诱导公式化简求值问题、不等式能成立问题的求解；本题解题关键是能够通过已知的三角函数的性质确定函数的对称轴和最值点，根据三角函数的性质求得解析式. 19. 已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）ex， （Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）讨论f（x）在区间（，+∞）上的极值点的个数； （Ⅲ）是否存在a，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I）若a=0，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间； （II）利用导数分别讨论a的取值，进而讨论函数f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数； （III）假设存在a，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论． 【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=（xlnx﹣1）ex，（x＞0） 导数f′（x）=（x+1）exlnx， 所以x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0． 可得f（x）的减区间为（0，1），f（x）的增区间为（1，+∞）； （Ⅱ）f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，令m（x）=lnx+xlnx+ax+a2 m′（x）=+lnx+1+a，又令φ（x）=+lnx+1+a φ′（x）=﹣+．x∈（0，1）时，φ（x）＜0，φ（x）递减； x∈（1，+∞），φ（x）＞0，φ（x）递增． m（x）min=m′（1）=2+a≥0，所以m（x）在区间（，+∞）单调递增， m（）=（a﹣1）（a+1+）， ①m（）≥0，即：﹣2≤a≤﹣1﹣或a≥1时m（x）在区间（，+∞）上无零点，f（x）无极值点 ②m（）＜0，即：﹣1﹣＜a＜1，m（x）在区间（，+∞）上有唯一零点，f（x）有唯一极值点． （Ⅲ）假设存在a，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切， 则f（x）必与x轴相切于极值点． 由（2）可知﹣1﹣＜a＜1，设极值点为x0 ， 联立得x0=e﹣（a+1）代入上式得e﹣（a+1）+（a+1）﹣a2=0 令t=﹣（a+1），t∈（﹣2，），h（t）=et﹣t﹣（t+1）2 h′（t）=et﹣2t﹣3，h″（t）=et﹣2＜0 h′（t）在t∈（﹣2，）上单调递减，h′（﹣2）=e﹣2+1＞0，＜0 ∴h′（t）在t∈（﹣2，）上存在唯一零点t0 即当t∈（﹣2，t0）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（t0，）时，h（t）＜0，h（t）单调递减 h（﹣2）＞0，h（）＜0，所以h（t）在t∈（﹣2，t0）上无零点，在t∈（t0，）上有唯一零点 h（0）=0，a+1=0，a=﹣1 所以存在a=﹣1，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切． 20. （本题满分12分）设是公差大于零的等差数列，已知，. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和； （Ⅲ）若的最小值. 参考答案： （Ⅲ）                  所以是单调递增，故的最小值是 21. 央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 参考答