湖南省岳阳市大坪中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

湖南省岳阳市大坪中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数=（  ） A．I     B．-i  C．1-I      D．i-1 参考答案： A 2. 定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，f(x)=x(3-2x)，则=（        ） A.     B.        C.         D. 参考答案： C 3. 的零点所在区间为                       （      ） A．(0，1) B．(-1，0) C．(1，2) D．(-2，-l) 参考答案： B 略 4. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有，②对于任意的，都有，        ③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是    (     )       A．                       B． C．             D． 参考答案： B 略 5. 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象(     ) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 参考答案： B 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题． 分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项． 解答： 解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）= cos， ∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度． 故选B． 点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序． 6. 已知双曲线，则其离心率为   A.              B.           C.            D. 参考答案： C 双曲线化为标准方程得，所以双曲线C的焦点在y轴上，a=,其离心率. 7. 当a=dx时，二项式（x2﹣）6展开式中的x3项的系数为（　　） 　 A．﹣20 B． 20 C． ﹣160 D． 160 参考答案： C 8. 不等式的解集是（    ） A．     B．      C．     D． 参考答案： B 9. 定义：如果函数在上存在，（），满足，，则称数，为上的“对望数”，函数为上的“对望函数”．已知函数是上的“对望函数”，则实数的取值范围是 .     .    .     . 参考答案： . 由题意可知，在上存在，（），满足 ，因为，所以方程在上有两个不同的根.令（），则，解得，所以实数的取值范围是．故选． 【解题探究】本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数所满足的条件，解之即得所求. 10. 某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n场比赛得分为an） n 1 2 3 4 5 6 an 10 12 8 9 11 10 在对上面数据分析时，一部分计算如右算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是 A．           B．2              C．           D． 参考答案： C ， 由题意，易得：= 故选：C   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知为数列的前项和，且满足，，则（  ） A．    B．   C．  D． 参考答案： A 略 12. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值___________; 参考答案： 【知识点】简单线性规划．E5 【答案解析】3  解析：设变量x、y满足约束条件， 在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3）， 则目标函数z=2x+y的最小值为3． 故答案为：3． 【思路点拨】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可． 13. 若等差数列{an}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=　    　． 参考答案： 7 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列{an}的性质可得：a1+a7=a2+a6．再利用求和公式即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a7=a2+a6． ∴S7=21==，且a2=﹣1， 则a6=7． 故答案为：7． 14. 己知为锐角，，平分，在线段上，点为线段的中点，，若点 在内（含边界），则在下列关于的式子 ①； ②； ③； ④中，正确的是         （请填写所有正确式子的番号） 参考答案： ②③④ 15. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则   . 参考答案： 16. 若分别是的所对的三边，且,则圆M: 被直线：所截得的弦长为          . 参考答案： 17. 数列满足,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足   ． 参考答案： 10 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列的前项和为，且，. （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）若数列的前项和，试求并证明不等式成立.   参考答案： 略 19. 某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：   一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果； （Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率． 参考答案： 考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个． （Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率． 解答： 解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、 （B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、 （X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果． （Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”， 则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果， 故事件M发生的概率为 =． 点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题． 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．    （Ⅰ）求证：OM∥平面PAB； （Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC； （Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于 时，求PA的长． 参考答案： （Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明（Ⅲ） 【分析】 （Ⅰ）先证明OM∥PB，再证明OM∥平面PAB; （Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，再证明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根据求出PA的长. 【详解】（Ⅰ） 证明：在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点， 所以OM∥PB．又OM? 平面PAB, PB?平面PAB， 所以OM∥平面PAB． （Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC． 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA⊥BD．又AC∩PA=A， 所以BD⊥平面PAC． 又BD?平面PBD， 所以平面PBD⊥平面PAC． （Ⅲ）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°， 所以 又 ，三棱锥的高为PA， 所以 ，解得 ． 【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21. （12分）已知函数， （1）若函数的图象在点处的切线与直线平行，函数 在处取得极值，求函数的解析式，并确定函数的单调递减区间； （2）若，且函数在上是减函数，求的取值范围． 参考答案： （1）已知函数         又函数图象在点处的切线与直线平行，且函数在处取得极值，，且，解得 ，且           令，          所以函数的单调递减区间为                （2）当时，，又函数在上是减函数 在上恒成立，       即在上恒成立。  22. （12分）已知O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，右顶点为Q，以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，直线PQ与圆O相交得到的弦长为． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l与以F1、F2为直径的圆O相切，并且与椭圆C交于不同的两点A、B，求△AOB的面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，则O到直线PQ的距离d==，由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，由此能求出椭圆的标准方程． （Ⅱ）讨论直线AB的斜率不存在，求得△ABO的面积，若存在设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），由圆O与直线l相切，得m2=k2+1．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0）， 则直线PQ的方程：ay+bx﹣ab=0， 则O到直线PQ的距离d==， 由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c， 在△ODP中，根据勾股定理可知： （）2+（）2=b2，① 由a2=b2+c2=2b2，② 由①②解得：b2=1，a2=2， ∴椭圆的标准方程为：． （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，AB过椭圆的焦点， 令x=1代入椭圆方程可得y=±， 可得|AB|=，S△ABO=； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、 B（x2，y2）， ∵圆O与直线l相切， ∵=1， ∴m2=k2+1． 由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ∵直线l与椭圆交于两个不同的点， ∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即m2﹣2k2＜1， ∴k2＞0． 由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=， 则丨AB丨=? =?=?， △AOB的面积S=?丨AB丨?d=， 令1+2k2=t（t＞1），可得k2=，则S= =?=?＜． 综上可得，△AOB的面积的最大值为． 【点评】本题主要考查椭圆的概念和性质，直线和椭圆的位置关系，圆的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题．