河南省商丘市芒种桥乡联合中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

河南省商丘市芒种桥乡联合中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是孤AB的三等分点，M、N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是 A．2 B．5              C．26               D．29 参考答案： C 2. 则 (A)       (B)        (C)       (D) 参考答案： D 略 3. 已知等差数列{an}的公差为d，若，且b1+b3=17，b2+b4=68，则d=（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 根据条件列关于首项与公差方程组，解得结果. 【详解】等差数列公差设为，，且， 可得，解得 故选：B． 【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 已知函数，若恒成立，则ab的最大值为   A. B. C. D. 参考答案： D 略 5. 已知复数的实部是，虚部是，其中为虚数单位，则在复平面对应的点在（     ） A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限       D．第四象限 参考答案： C 略 6. 已知定义域为R 的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则                                                                            A.      B.         C.         D. 参考答案： 答案：D 7. 的值为 A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 8. 已知向量，若，则实数的值是   A．     B．     C．     D． 参考答案： 答案：C 9. 复数的共轭复数是       A．            B．       C．          D． 参考答案： B 10. （5分）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（） A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． b＜a＜c D． b＜c＜a 参考答案： A 考点： 不等式比较大小． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系 解答： 解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0， ∴a＞b＞20=1． 再由c=2log52=log54＜log55=1， 可得 a＞b＞c， 故选A． 点评： 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为 参考答案： 【知识点】定积分在求面积中的应用；抛物线的简单性质．B13 H7    解析：抛物线处的切线的斜率为2x|x=2=4，所以切线为y﹣4=4（x﹣2），即y=4x﹣4，此直线与轴的交点为（1，0）， 所以抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为； 故答案为：． 【思路点拨】首先求出抛物线在x=2处的切线方程，然后再利用导数的几何意义的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积即可。 12. 已知（1，），（0，2），则与的夹角为_____． 参考答案： 【分析】 由题意利用两个向量的夹角公式，求出与的夹角． 【详解】∵（1，），（0，2），设与的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则cosθ，∴θ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积，两个向量的夹角公式，属于基础题． 13. 用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底 面的距离为       .   参考答案： 略 14. 若x，y满足，则的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】基本不等式． 【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性质即可得出． 【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6． ∴． ∴的取值范围是． 故答案为：． 15. 已知向量a=(,), b =(,)，若a∥b，则=　 　 　 　. 参考答案： 16. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为         . 参考答案： 试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，不妨设，则.而，所以的最小值为.故选C. 考点：1. 利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题. 17. 对于函数和，下列说法正确的是        . （1）函数的图像关于直线对称； （2）的图像关于直线对称； （3）两函数的图像一共有10个交点； （4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30； （5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24. 参考答案： （2）（3）（4） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设｛an｝是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和 （1）若，求的值； （2）若互不相等正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明：不等式成立； （3）是否存在常数k和等差数列｛an｝，使恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列｛an｝的通项公式；若不存在，请说明理由。 参考答案： 在等差数列｛an｝中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列， ∴Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn） ∴S3n＝3 S2n－3 Sn＝60…………………………………………………………………4分 （2）SpSq＝pq（a1＋ap）（a1＋aq） ＝pq［a＋a1(ap＋aq)＋apaq］ ＝pq（a＋2a1am＋apaq）＜（）2［a＋2a1am＋（）2］ ＝m2（a＋2a1am＋a）＝［m（a1+am）］2 ＝S………………………………………………………………………8分 （3）设an＝pn＋q（p，q为常数），则ka－1＝kp2n2＋2kpqn＋kq2－1 Sn+1＝p(n＋1)2＋（n＋1） S2n＝2pn2＋（p＋2q）n ∴S2n－Sn+1＝pn2＋n－（p＋q）， 依题意有kp2n2＋2kpqn＋kq2－1＝ pn2＋n－（p＋q）对一切正整数n成立， ∴ 由①得，p＝0或kp＝； 若p＝0代入②有q＝0，而p＝q＝0不满足③，#k#s5u ∴p≠0 由kp＝代入②， ∴3q＝，q＝－代入③得， －1＝－（p－），将kp＝代入得，∴P＝， 解得q＝－，k＝ 故存在常数k＝及等差数列an＝n－使其满足题意…………………13分   19. 已知函数f（x）=ex﹣ln（x+1） （I）求函数f（x）的单调区间； （II）证明：． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 专题： 证明题． 分析： （I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间． （II）由（I）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即ex﹣ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1，取x=，则，再分别令n=1，2，3，…，n得到n个不等式，相加即得． 解答： 解：x＞﹣1，f′（x）=ex﹣． （I）由于f′（x）=ex﹣在（﹣1，+∞）上是增函数，且f′（0）=0， ∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0， 故函数f（x）的单调增区间（0，+∞），函数f（x）的单调减区间（﹣1，0）． （II）由（I）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1， ∴ex﹣ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1， 取x=，则， 于是e≥ln2﹣ln1+1， ≥ln3﹣ln2+1， ≥ln4﹣ln3+1， … ≥ln（n+1）﹣lnn+1． 相加得，，得证． 点评： 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答． 20. （本小题满分12分）已知. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角A,B,C的对边，且的面积. 参考答案： 21. .已知函数数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）令求； （3）若对恒成立，求的最小值. 参考答案： 解：(1)因为，又，即是以1为首项，以为公差的等差数列，所以. （2）               （3）由，递减，所以，取最大值，由时，恒成立， 所以，所以，.   略 22. 将编号为1，2，3,4的四个小球，分别放入编号为1 ,2,3,4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一    个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和．    （1)求=2时的概率；     (2)求的概率分布及数学期望． 参考答案： （1） （2）   略