广东省江门市沧江中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省江门市沧江中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若曲线在处的切线与的切线相同，则b=（   ） A. 2 B. 1 C. －1 D. e 参考答案： A 【分析】 求出的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为（m，n），得的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值． 【详解】函数的导数为y＝ex，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝=1， 则曲线在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x； 函数的导数为y＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝2， 即有2＝ln1+b，解得b＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题． 2. 设i为虚数单位，若复数z满足z=，则z=（   ） A．1+i               B．1－i              C．－1+i              D．－1－i 参考答案： D 3. 多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为(     ) A． B． C． D．6 参考答案： C 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可． 解答： 解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2． 可得， 故选：C． 点评：本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力． 4. 由直线，，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（   ） A． B． C． D． 参考答案： A 5. x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋y，则z的取值范围是（   ）     （A）                         （B） （C）[2，＋∞)                           （D）[3，＋∞) 参考答案： C 试题分析：作出可行域及目标函数如图: 将变形可得.平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时, 纵截距最小,此时也取最小值为;因为平移目标函数线时其纵截距,所以此时.所以.故C正确. 考点：线性规划. 6. 设，则a，b，c的大小关系是 A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c 参考答案： D 解析：，故选D 7. （3）已知点 （A）                 （B）        （C）                   （D） 参考答案： A 8. 某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为(     ) A．10 B．15 C．20 D．30 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案． 【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体， ∵底面面积S=×4×3=6， 高h=5， 故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=20， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 9. 定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是                        (    ) A．－1       B．0              C．1             D．2 参考答案： B 10. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 A.          B.        C.        D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若点在直线上，则          ． 参考答案： 3 12. 不等式|x|＜2x﹣1的解集为　     　． 参考答案： {x|x＞1} 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】由题意，或，即可得出结论． 【解答】解：由题意，或， ∴x＞1． 故答案为{x|x＞1}． 13. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超 市             家．   参考答案： 14. 下列四个命题中，真命题的序号有                  （写出所有真命题的序号）. ①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y= ②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2 ③若sin(+)=，sin(－)=,则tancot=5 ④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分. （16题图） 参考答案： 答案：③④ 解析：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2| ②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为 >半径2，故圆与直线相离，                         ③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin sin(－)＝sincos－cossin＝ 两式相加，得2 sincos＝， 两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5 ④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，                   点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义 可知点P的轨迹是抛物线。 15. l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　   　． 参考答案： x+2y﹣3=0 【考点】两条平行直线间的距离． 【分析】l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由斜率公式求得AB的斜率，取负倒数可得直线l1的斜率，用点斜式求直线l1的方程． 【解答】解：由题意可得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直． 由于AB的斜率为 =2，故直线l1的斜率为﹣，故它的方程是 y﹣1=﹣（x﹣1），化简为 x+2y﹣3=0， 故答案为 x+2y﹣3=0， 故答案为 x+2y﹣3=0． 16. 已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是            参考答案： 5 17. 函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为　    　． 参考答案： （4，2017） 【考点】分段函数的应用． 【分析】作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围． 【解答】解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点， 其横坐标由左到右依次为a，b，c，d 则由图象可得，b+c=2， log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t， 由于0＜t＜1，则得到﹣1＜a＜0， 2＜d＜2016，则2＜a+d＜2015， 即有4＜a+b+c+d＜2017， 故答案为：（4，2017）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，，记函数f（x）= （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的对称中心； （Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】（I）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f（x）=+，可得周期T，令=0，即可解出对称中心． （II）利用正弦函数的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）， f（x）= =+ =+， ∴=π． 令=0，解得=kπ，解得x=﹣（k∈Z）． ∴f（x）的对称中心为，（k∈Z）． （Ⅱ）解不等式得：． 令k=0，∴，∴， ，∴， ∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为． 【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 已知函数. （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若时，，求a的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集； （Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当时，，由得. ①当时，原不等式可化为：，解之得：； ②当时，原不等式可化为：，解之得：且，. 因此，不等式的解集为； （Ⅱ）当时，， 由得，，， ，，因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题. 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点， （1）证明：BD⊥平面PAC （2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC． （2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值． 【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD， 设AC与BD的交点为O， ∵AB=BC=2，AD=CD=，PA=， ∴BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC． 而PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC． 解：（2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA， 故由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD， ∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角． 由题意可得GO=PA=， 在△ABC中，由余弦定理得： AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12， ∴AC=2，OC=， Rt△COD中，OD==2， ∴Rt△GOD中，tan． ∴DG与平面APC所成的角的正切值为． 21. 设函数，其中0＜w＜2． （Ⅰ）若x=是函数f（x）的一条对称轴，求函数周期T； （Ⅱ）若函数f（x）在区间上为增函数，求w的最大值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得w的值，可得函数的周期． （Ⅱ）由正弦函数的单调性求得f（x）的增区间，再利用函数f（x）在区间上为增函数，求得w的最大值． 【解答】解：函数=4（coswxcos﹣sinwxsin）sinwx﹣cos2wx+1 =sin2wx． （Ⅰ）