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广东省江门市沧江中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若曲线在处的切线与的切线相同,则b=( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. e
参考答案:
A
【分析】
求出的导数,得切线的斜率,可得切线方程,再设与曲线相切的切点为(m,n),得的导数,由导数的几何意义求出切线的斜率,解方程可得m,n,进而得到b的值.
【详解】函数的导数为y=ex,曲线在x=0处的切线斜率为k==1,
则曲线在x=0处的切线方程为y﹣1=x;
函数的导数为y=,设切点为(m,n),则=1,解得m=1,n=2,
即有2=ln1+b,解得b=2.
故选:A.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义,求切线方程,属于基础题.
2. 设i为虚数单位,若复数z满足z=,则z=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
参考答案:
D
3. 多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的体积为( )
A. B. C. D.6
参考答案:
C
考点:由三视图求面积、体积.
专题:空间位置关系与距离.
分析:利用三视图的数据,把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱,求解体积即可.
解答: 解:用割补法可把几何体分割成三部分,如图:棱锥的高为2,底面边长为4,2的矩形,棱柱的高为2.
可得,
故选:C.
点评:本题考查三视图复原几何体的体积的求法,考查计算能力.
4. 由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. x,y满足约束条件目标函数z=2x+y,则z的取值范围是( )
(A) (B)
(C)[2,+∞) (D)[3,+∞)
参考答案:
C
试题分析:作出可行域及目标函数如图:
将变形可得.平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时, 纵截距最小,此时也取最小值为;因为平移目标函数线时其纵截距,所以此时.所以.故C正确.
考点:线性规划.
6. 设,则a,b,c的大小关系是
A.b>c>a B.a>c>b C.b>a>c D.a>b>c
参考答案:
D
解析:,故选D
7. (3)已知点
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
8. 某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )
A.10 B.15 C.20 D.30
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱,切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体,分别求出棱柱和棱锥的体积,相减可得答案.
【解答】解:由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱,切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体,
∵底面面积S=×4×3=6,
高h=5,
故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=20,
故选:C
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.
9. 定义在R上的函数满足,.当x∈时,,则的值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
B
10. 已知命题;命题,则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若点在直线上,则 .
参考答案:
3
12. 不等式|x|<2x﹣1的解集为 .
参考答案:
{x|x>1}
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】由题意,或,即可得出结论.
【解答】解:由题意,或,
∴x>1.
故答案为{x|x>1}.
13. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超
市 家.
参考答案:
14. 下列四个命题中,真命题的序号有 (写出所有真命题的序号).
①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交,所得弦长为2
③若sin(+)=,sin(-)=,则tancot=5
④如图,已知正方体ABCD- A1B1C1D1,P为底面ABCD内一动点,P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等,则P点的轨迹是抛物线的一部分.
(16题图)
参考答案:
答案:③④
解析:①错误,得到的图象对应的函数表达式应为y=|x-2|
②错误,圆心坐标为(-2,1),到直线y=的距离为
>半径2,故圆与直线相离,
③正确,sin(+)==sincos+cossin
sin(-)=sincos-cossin=
两式相加,得2 sincos=,
两式相减,得2 cossin=,故将上两式相除,即得tancot=5
④正确,点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离,
点P到直线CC1就是点P到点C的距离,由抛物线的定义
可知点P的轨迹是抛物线。
15. l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,﹣1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是 .
参考答案:
x+2y﹣3=0
【考点】两条平行直线间的距离.
【分析】l1,l2间的距离最大时,AB和这两条直线都垂直.由斜率公式求得AB的斜率,取负倒数可得直线l1的斜率,用点斜式求直线l1的方程.
【解答】解:由题意可得,l1,l2间的距离最大时,AB和这两条直线都垂直.
由于AB的斜率为 =2,故直线l1的斜率为﹣,故它的方程是 y﹣1=﹣(x﹣1),化简为 x+2y﹣3=0,
故答案为 x+2y﹣3=0,
故答案为 x+2y﹣3=0.
16. 已知函数,对定义域内任意,满足,则正整数的取值个数是
参考答案:
5
17. 函数f(x)=,若a,b,c,d是互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+b+c+d的取值范围为 .
参考答案:
(4,2017)
【考点】分段函数的应用.
【分析】作出函数f(x)的图象,令直线y=t与f(x)的图象交于四个点,其横坐标由左到右依次为a,b,c,d,则由图象可得,b+c=2,log2015(d﹣1)=()a﹣1=t,由于0<t<1,即可求得a,d的范围,从而得到a+b+c+d的范围.
【解答】解:作出函数f(x)的图象,令直线y=t与f(x)的图象交于四个点,
其横坐标由左到右依次为a,b,c,d
则由图象可得,b+c=2,
log2015(d﹣1)=()a﹣1=t,
由于0<t<1,则得到﹣1<a<0,
2<d<2016,则2<a+d<2015,
即有4<a+b+c+d<2017,
故答案为:(4,2017).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,,记函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的对称中心;
(Ⅱ)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】三角函数的图像与性质;平面向量及应用.
【分析】(I)利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得:f(x)=+,可得周期T,令=0,即可解出对称中心.
(II)利用正弦函数的单调性即可得出.
【解答】解:(Ⅰ),
f(x)=
=+
=+,
∴=π.
令=0,解得=kπ,解得x=﹣(k∈Z).
∴f(x)的对称中心为,(k∈Z).
(Ⅱ)解不等式得:.
令k=0,∴,∴,
,∴,
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为.
【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若时,,求a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)将代入函数的解析式,分和解不等式,即可得出不等式的解集;
(Ⅱ)由可得出,由可得出,结合,即可得出实数的取值范围.
【详解】(Ⅰ)当时,,由得.
①当时,原不等式可化为:,解之得:;
②当时,原不等式可化为:,解之得:且,.
因此,不等式的解集为;
(Ⅱ)当时,,
由得,,,
,,因此,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解,同时也考查了利用不等式恒成立求参数,解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值,考查运算求解能力,属于中等题.
20. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,
(1)证明:BD⊥平面PAC
(2)若G是PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)推导出PA⊥BD,BD⊥AC,由此能证明BD⊥平面PAC.
(2)由PA⊥平面ABCD,得GO⊥面ABCD,∠DGO为DG与平面PAC所成的角,由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值.
【解答】证明:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD,
设AC与BD的交点为O,
∵AB=BC=2,AD=CD=,PA=,
∴BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC.
而PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
解:(2)若G是PC的中点,O为AC的中点,则GO平行且等于PA,
故由PA⊥平面ABCD,得GO⊥面ABCD,
∴GO⊥OD,故OD⊥平面PAC,故∠DGO为DG与平面PAC所成的角.
由题意可得GO=PA=,
在△ABC中,由余弦定理得:
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12,
∴AC=2,OC=,
Rt△COD中,OD==2,
∴Rt△GOD中,tan.
∴DG与平面APC所成的角的正切值为.
21. 设函数,其中0<w<2.
(Ⅰ)若x=是函数f(x)的一条对称轴,求函数周期T;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间上为增函数,求w的最大值.
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.
【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,求得w的值,可得函数的周期.
(Ⅱ)由正弦函数的单调性求得f(x)的增区间,再利用函数f(x)在区间上为增函数,求得w的最大值.
【解答】解:函数=4(coswxcos﹣sinwxsin)sinwx﹣cos2wx+1
=sin2wx.
(Ⅰ)
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