河北省唐山市第五十二中学高一数学理期末试卷含解析

河北省唐山市第五十二中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)   A．y＝100x                    B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x                   D．y＝ 参考答案： C 2. 已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为(　　) A．(sinα，cosα)  B．(cosα，sinα) C．(sinα，tanα)  D．(tanα，sinα) 参考答案： B 3. 某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为(　　) A．k>4?       B．k>5?     C．k>6?  D．k>7? 参考答案： A 4. 在等差数列中，以表示数列的前项和，则使达到最大值的是                                              （    ） A． B． C．             D． 参考答案： C 略 5. 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0=A0A1，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（    ） A．2:1           B．4:3            C．3:2            D．1:1 参考答案： A 6. 将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质(　　) A. 最大值为1，图象关于直线x＝对称 B. 在上单调递增，为奇函数 C. 在上单调递增，为偶函数 D. 周期为π，图象关于点对称 参考答案： B 依题意，得g(x)＝cos＝cos＝sin 2x，故函数g(x)图象的对称轴为x＝＋ (k∈Z)，故A错误；因为g(－x)＝－sin 2x＝－g(x)，故函数g(x)为奇函数，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误；因为g＝sinπ＝≠0，故D错误．综上所述，故选B. 7. 一个正项等比数列中，，则（    ） (A)20        (B)15         (C)10          (D)5 参考答案： B 略 8. 已知函数，则(       ) A．-4 B．4 C．8 D．-8 参考答案： C 9. 已知，，且与不共线，则向量与的夹角等于（     ） A．60°         B．90°       C.  120°       D．150° 参考答案： B ，， 故夹角等于90° 故选B.   10. 已知，若关于x的方程有三个实根，则实数a的取值范围是 A．        B．             C．           D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)＝，则f(－10)的值是(     ). A．0 B．－1 C． 1 D．－2 参考答案： C 12. （5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是        ． 参考答案： 0＜k＜1 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围． 解答： ∵当x≥2时，f（x）=22﹣x=， ∴作出函数f（x）的图象如图： 由图象可知，当k＞1时，方程f（x）=k没有根， 当k=1时，方程f（x）=k只有1个根， 当0＜k＜1时，方程f（x）=k有2个根， 当﹣1≤k≤0时，方程f（x）=k只有1个根， 当k＜﹣1时，方程f（x）=k没有根， 故若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是0＜k＜1， 故答案为：0＜k＜1 点评： 本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想． 13. 我国的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.则的表达式为            .     参考答案： 略 14. 的振幅为          初相为         参考答案： 3, 略 15. 若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （1，] 【考点】函数的值域． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】x≤2时，容易得出f（x）≥4，而f（x）的值域为[4，+∞），从而需满足2+logax≥4，（x＞2）恒成立，从而可判断a＞1，从而可得出loga2≥2，这样便可得出实数a的取值范围． 【解答】解：x≤2时，﹣x+6≥4； ∴f（x）的值域为[4，+∞）； ∴x＞2时，2+logax≥4恒成立； ∴logax≥2，a＞1； ∴loga2≥2； ∴2≥a2； 解得； ∴实数a的取值范围为． 故答案为：． 【点评】考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，以及一次函数、对数函数的单调性，函数恒成立问题的处理方法． 16. 已知函数f（x）=﹣m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为　　． 参考答案： m＞1 【考点】函数零点的判定定理；函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】将求函数f（x）的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可． 【解答】解：函数f（x）有三个零点等价于 方程=m|x|有且仅有三个实根． ∵=m|x|?=|x|（x+2）， 作函数y=|x|（x+2）的图象，如图所示． ， ，由图象可知m应满足：0＜＜1， 故答案为：m＞1． 【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题． 17. 已知函数f（x）=，则方程f（x）=的解为　　． 参考答案： ﹣1或x= 【考点】函数的零点．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，分别建立方程，即可求得方程的解． 解：由题意，或 ∴x=﹣1或x= 故答案为﹣1或． 【点评】本题考查分段函数，考查方程的解，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）某简谐运动的图像对应的函数函数解析式为： （1）指出的周期、振幅、频率、相位、初相； （2）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （3）求函数图像的对称中心和对称轴 参考答案： (1)周期、振幅3、频率、相位、初相  ；(2)图像略； (3)对称轴 .对称中心 19. 已知集合为函数的值域，集合. （1）求； （2）若集合，，求实数的取值范围. 参考答案： (1)；(2). 考点：二次函数的值域、分式不等式的解法、集合的运算等有关知识的综合运用． 20. 如下图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点. （Ⅰ）若两点的纵坐标分别为，求的值； （Ⅱ）已知点是单位圆上的一点，且，求和的夹角. 参考答案： （Ⅰ）;（Ⅱ） （Ⅰ）因为两点的纵坐标分别为，        所以，． 又因为为锐角，为钝角， 所以，． 所以．        ……… 4分 （Ⅱ）因为是单位圆上的一点，所以，．      又因为，所以． 因为点是单位圆上的一点，所以，即． 整理得，． 所以． 又因为， 所以和的夹角为．                           ……… 9分 21. （本小题满分12分） 已知函数=（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为． （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ） f（x），---------------------------3分 由题意知，最小正周期，，所以， ∴.                         ----------------6分 （Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象. 　所以                 -------------------------9分 令，∵,∴，-----------------------10分 ，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，-------------------------11分 由正弦函数的图像可知或， ∴或.                            ------------12分 22. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面PAB． （1）求证：； （2）若圆柱的体积， ①求三棱锥A1﹣APB的体积． ②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．   参考答案： （1）见解析；（2）①，②见解析 【分析】 （1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点． 【详解】（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径， 平面 又， 平面，又平面，故． （2）①由题意，解得， 由，得，， ∴三棱锥的体积． ②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为． 证明：∵O、M分别为的中点，则， 就是异面直线OM与所成的角， 又， 在中，． ∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为． 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．