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河北省唐山市第五十二中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=
参考答案:
C
2. 已知角α的终边和单位圆的交点为P,则点P的坐标为( )
A.(sinα,cosα) B.(cosα,sinα)
C.(sinα,tanα) D.(tanα,sinα)
参考答案:
B
3. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为( )
A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?
参考答案:
A
4. 在等差数列中,以表示数列的前项和,则使达到最大值的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A0,B0,分别为侧棱AA1,BB1上的点,且知BB0=A0A1,过A0,B0,C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为( )
A.2:1 B.4:3 C.3:2 D.1:1
参考答案:
A
6. 将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x),则g(x)具有性质( )
A. 最大值为1,图象关于直线x=对称
B. 在上单调递增,为奇函数
C. 在上单调递增,为偶函数
D. 周期为π,图象关于点对称
参考答案:
B
依题意,得g(x)=cos=cos=sin 2x,故函数g(x)图象的对称轴为x=+ (k∈Z),故A错误;因为g(-x)=-sin 2x=-g(x),故函数g(x)为奇函数,函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,故B正确,C错误;因为g=sinπ=≠0,故D错误.综上所述,故选B.
7. 一个正项等比数列中,,则( )
(A)20 (B)15 (C)10 (D)5
参考答案:
B
略
8. 已知函数,则( )
A.-4 B.4 C.8 D.-8
参考答案:
C
9. 已知,,且与不共线,则向量与的夹角等于( )
A.60° B.90° C. 120° D.150°
参考答案:
B
,,
故夹角等于90°
故选B.
10. 已知,若关于x的方程有三个实根,则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=,则f(-10)的值是( ).
A.0 B.-1 C. 1 D.-2
参考答案:
C
12. (5分)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
0<k<1
考点: 根的存在性及根的个数判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 作出函数f(x)的图象,利用数形结合即可得到k的取值范围.
解答: ∵当x≥2时,f(x)=22﹣x=,
∴作出函数f(x)的图象如图:
由图象可知,当k>1时,方程f(x)=k没有根,
当k=1时,方程f(x)=k只有1个根,
当0<k<1时,方程f(x)=k有2个根,
当﹣1≤k≤0时,方程f(x)=k只有1个根,
当k<﹣1时,方程f(x)=k没有根,
故若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是0<k<1,
故答案为:0<k<1
点评: 本题主要考查方程根的个数的判断,利用方程和函数之间的关系,转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键,利用数形结合是解决本题的基本思想.
13. 我国的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含个小正方形.则的表达式为 .
参考答案:
略
14. 的振幅为 初相为
参考答案:
3,
略
15. 若函数(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(1,]
【考点】函数的值域.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】x≤2时,容易得出f(x)≥4,而f(x)的值域为[4,+∞),从而需满足2+logax≥4,(x>2)恒成立,从而可判断a>1,从而可得出loga2≥2,这样便可得出实数a的取值范围.
【解答】解:x≤2时,﹣x+6≥4;
∴f(x)的值域为[4,+∞);
∴x>2时,2+logax≥4恒成立;
∴logax≥2,a>1;
∴loga2≥2;
∴2≥a2;
解得;
∴实数a的取值范围为.
故答案为:.
【点评】考查函数值域的概念,分段函数值域的求法,以及一次函数、对数函数的单调性,函数恒成立问题的处理方法.
16. 已知函数f(x)=﹣m|x|有三个零点,则实数m的取值范围为 .
参考答案:
m>1
【考点】函数零点的判定定理;函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】将求函数f(x)的零点问题转化为求两个函数的交点问题,画出函数的草图,求出即可.
【解答】解:函数f(x)有三个零点等价于
方程=m|x|有且仅有三个实根.
∵=m|x|?=|x|(x+2),
作函数y=|x|(x+2)的图象,如图所示.
,
,由图象可知m应满足:0<<1,
故答案为:m>1.
【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了数形结合思想,是一道基础题.
17. 已知函数f(x)=,则方程f(x)=的解为 .
参考答案:
﹣1或x=
【考点】函数的零点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数,分别建立方程,即可求得方程的解.
解:由题意,或
∴x=﹣1或x=
故答案为﹣1或.
【点评】本题考查分段函数,考查方程的解,考查学生的计算能力,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)某简谐运动的图像对应的函数函数解析式为:
(1)指出的周期、振幅、频率、相位、初相;
(2)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;
(3)求函数图像的对称中心和对称轴
参考答案:
(1)周期、振幅3、频率、相位、初相 ;(2)图像略;
(3)对称轴 .对称中心
19. 已知集合为函数的值域,集合.
(1)求;
(2)若集合,,求实数的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
考点:二次函数的值域、分式不等式的解法、集合的运算等有关知识的综合运用.
20. 如下图,在平面直角坐标系中,锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点.
(Ⅰ)若两点的纵坐标分别为,求的值;
(Ⅱ)已知点是单位圆上的一点,且,求和的夹角.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)
(Ⅰ)因为两点的纵坐标分别为,
所以,.
又因为为锐角,为钝角,
所以,.
所以. ……… 4分
(Ⅱ)因为是单位圆上的一点,所以,.
又因为,所以.
因为点是单位圆上的一点,所以,即.
整理得,.
所以.
又因为,
所以和的夹角为. ……… 9分
21. (本小题满分12分)
已知函数=(),直线,是图象的任意两条对称轴,且的最小值为.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象.若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ) f(x),---------------------------3分
由题意知,最小正周期,,所以,
∴. ----------------6分
(Ⅱ)将的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象.
所以 -------------------------9分
令,∵,∴,-----------------------10分
,在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,-------------------------11分
由正弦函数的图像可知或,
∴或. ------------12分
22. 如图,已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上,AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径,且平面PAB.
(1)求证:;
(2)若圆柱的体积,
①求三棱锥A1﹣APB的体积.
②在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为?若存在,请指出M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)见解析;(2)①,②见解析
【分析】
(1)根据,得出平面,故而;(2)①根据圆柱的体积计算,根据计算,,代入体积公式计算棱锥的体积;②先证明就是异面直线与所成的角,然后根据可得,故为的中点.
【详解】(1)证明:∵P在⊙O上,AB是⊙O的直径,
平面 又,
平面,又平面,故.
(2)①由题意,解得,
由,得,,
∴三棱锥的体积.
②在AP上存在一点M,当M为AP的中点时,使异面直线OM与所成角的余弦值为.
证明:∵O、M分别为的中点,则,
就是异面直线OM与所成的角,
又,
在中,.
∴在AP上存在一点M,当M为AP的中点时,使异面直线OM与所成角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,棱锥的体积计算以及异面直线所成的角,属于中档题.
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