江西省九江市私立豫宁中学2022年高三数学理测试题含解析

江西省九江市私立豫宁中学2022年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 由题可知 即得S= 2. 若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比是(　　) A．    B.       C.       D.3 参考答案： A 3. 已知均为正实数，定义，若，则的值为（     ） A、      B、     C、     D、或 参考答案： C 略 4. 若复数z满足，则（   ） A．－3+i          B．3－2i         C．3+i         D．1+i 参考答案： C 5. 在中，,从顶点出发，在内等可能地引射线交线段于点，则的概率是（  ） 参考答案： C 6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为    （A）（B）（C）（D） 参考答案： B 由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求的程序，所以，选B. 7. 定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，有 A．       B． C．         D． 【解析】①若，则，此时和为偶函数都成立，此时当时，恒有。 ②若不是常数，因为函数为偶函数，所以，即函数关于对称，所以。当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增。若，则由，得，即，所以同理若，由，得，即，所以，若中一个大于1，一个小于1，不妨设，则，得，所以，即，综上有，即，选A. 参考答案： ①若，则，此时和为偶函数都成立，此时当时，恒有。 ②若不是常数，因为函数为偶函数，所以，即函数关于对称，所以。当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增。若，则由，得，即，所以同理若，由，得，即，所以，若中一个大于1，一个小于1，不妨设，则，得，所以，即，综上有，即，选A. 【答案】A 8. 若为虚数单位，则等于 A.             B.            C.1             D.－1 参考答案： A 略 9. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A. 3，5 B. 8，13 C. 12，17 D. 21，34 参考答案： B 【分析】 结合框图的循环条件，逐步运算可得结果. 【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；此时结束循环，输出结果，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 已知直线⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥； ④⊥m∥.  其中正确命题的个数是 A．4        B．3     　    C． 2        D． 1 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在上任取一个数，代入三个函数，，的计算程序，得到三个值，接着自动将它们输入下一个程序（对应程序框图如上右图），则输出的结果为的概率是_________ 参考答案： 略 12. 一个空间几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积 为          ．  参考答案： 13. 已知，且为第二象限角，则的值为_____________. 参考答案： 略 14. 圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. 参考答案： 双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。 15. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长是__________ 参考答案： 略 16. 已知等差数列的前项和为，且，则          参考答案： 17. 等差数列中，，则               参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题共14分）设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若，求证：； （Ⅲ）求证：存在，使得． 参考答案： （Ⅰ）； ．                       ……………5分 （Ⅱ）假设是一个位数（）， 那么可以设， 其中且（），且． 由可得，．     所以． 因为，所以． 而， 所以，即．                       ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当时， ． 同理当时， ． 若不存在，使得． 则对任意的，有，总有． 则， 可得． 　　　取，则，与矛盾． 存在，使得．                         ……………14分 19. （14分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C． （1）若C的坐标为（﹣1，1），求椭圆方程和圆C的方程； （2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意可得三角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C，由此求得b，c的值，结合隐含条件求出a，则椭圆方程和圆C的方程可求； （2）由AD为圆C的切线，得到AD⊥CO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率． 【解答】解：（1）∵三角形BFO为直角三角形， ∴其外接圆圆心为斜边BF中点C， 由C点坐标为（﹣1，1）得，b=2，c=2， ∴a2=b2+c2=8， 则圆半径， ∴椭圆方程为， 圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2； （2）由AD与圆C相切，得 AD⊥CO， BF方程为， 由， 得， 由，得b4=2a2c2， （a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0， 解得：=． 【点评】本题考查了椭圆与圆的方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题． 20. （本小题满分12分） 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点。 （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； （Ⅲ）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值  参考答案： 【知识点】椭圆及其几何性质H5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ） （Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 （Ⅱ）设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由得x0=2x－1， y0=2y－由,点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是. （Ⅲ）当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(－,－), 则,又点A到直线BC的距离d=, ∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC= 由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.∴S△ABC的最大值是.     【思路点拨】根据椭圆中的a,b,c,关系求出方程，利用直线和椭圆的关系求出最值。 21. 在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． A C D B N 参考答案： （Ⅰ）证明：因为，N是BC的中点 所以，又 所以四边形是平行四边形，所以 又因为等腰梯形，， x z y A C D B N 所以 ，所以四边形是菱形，所以 所以，即 由已知可知  平面平面， 因为 平面平面 所以平面     ……………………………4分 （Ⅱ）证明：因为，， 所以平面平面 又因为平面， 所以 平面                    …………………………8分 （Ⅲ）因为平面 同理平面，建立如图如示坐标系 设， 则,, ，， ………………………9分 则， 设平面的法向量为，有 ，， 得                                     …………………………11分 因为平面，所以平面平面 又，平面平面 所以平面 与交于点O，O则为AN的中点，O 所以平面的法向量             ……………………12分 所以                           ……………………………13分 由图形可知二面角为钝角 所以二面角的余弦值为．                ……………………………14分   略 22. 设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）． 参考答案： 略