江苏省苏州市张家港外国语学校高二数学理期末试卷含解析

江苏省苏州市张家港外国语学校高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 两平面, 若第三个平面不经过, 则三平面把空间分成（）部分。 A. 8        B. 7或8        C. 6或7或8      D.4或6或7或8 参考答案： C 2. 过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（　　） A、4　　B、8　　C、12　　D、16 参考答案： D 3. 函数的单调递增区间为          . 参考答案： 略 4. 将数字1,2,3,填入标号为1，2，3，的三个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是（　）     A．　　　　B．       C．         D． 参考答案： B 5. 已知且则的值是（  ） A.          B.        C.             D. 参考答案： A 6. 曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是(　　) A．y＝7x＋2     B．y＝7x＋4   C．y＝x－2  D．y＝x－4 参考答案： C 7. 四面体P--ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影是△ ABC的k*s*5u A．外心    B．内心    C．垂心    D．重心   参考答案： A 略 8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（     ） A．  B．  C． D．         参考答案： B 略 9. 随机试验，同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和，试验的基本事件总数是(　　)  A．15　 B．16 C．17    D．18 参考答案： B 略 10. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 A．   　 B． 　　 C．      D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，集合，则 =   ▲   ． 参考答案： { -1,1 } 12. 在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能构成一个三角形的概率是_____________________________________。 参考答案： 0.5 13. 已知，且x1，x2，…，x2006都是正数，则的最小值是　     　．   参考答案： 22006 ∵x1，x2，x3，…，x2006， ∴（1+x1）?（1+x2）?…（1+x2006）≥2 ?2 +…+2 =22006． 故答案为：22006 14. 一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1到10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数______． 参考答案： 133 【分析】 由题可知10盏路灯中至少打开两盏路灯，最多开5盏，再利用插空法分别求出开2，3，4，5盏的情况数，即可得到答案. 【详解】要满足这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯，则10盏路灯中至少打开两盏路灯，最多开5盏； 当开2盏时，符合要求的开法总数：种； 当开3盏时，符合要求的开法总数：种 当开4盏时，符合要求的开法总数：种 当开5盏时，符合要求的开法总数：种， 所以符合要求的开法总数：36+56+35+6=133 故答案为133. 【点睛】本题考查分类计数原理，以及排列组合中的插空法，属于中档题. 15. 观察按下列顺序排列的等式：，……，猜想第（）个等式应为_          _. 参考答案： 9(n-1)+n=10n-9 16. 函数的最大值为，则的最小值为          ． 参考答案： 17. 已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为　　． 参考答案： 【考点】循环结构． 【专题】图表型． 【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率． 【解答】解：设实数x∈[1，9]， 经过第一次循环得到x=2x+1，n=2 经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3 经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x 输出的值为8x+7 令8x+7≥55，得x≥6 由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==． 故答案为：． 【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求圆C的极坐标方程； (Ⅱ)直线的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长． 参考答案： （I）由cos2 +sin2=1， 把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，………………2分 ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．……………………………………………4分 （II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标， 由，解得．……………………………………6分 设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标， 由，解得．…………………8分 ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2．…………………………………………………………………10分 19. （本小题满分12分）已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y＝g(x)的图像在点P(－1,1)处的切线方程； (3)若不等式2f(x) g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： (1)g′(x)＝，由题意得<0的解集是， 即＝0的两根分别是－，1. 将x＝1或x＝－代入方程＝0，得a＝－1. ∴g(x)＝    …………………………………………………4分 (2)由(1)知，，      ∴g′(－1)＝4. ∴点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4， ∴函数y＝g(x)的图像在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)， 即4x－y＋5 ＝0. …………………………………………………………7分 (3)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴2f(x)≤g′(x)＋2恒成立， 即 对x∈(0，＋∞)上恒成立． 可得a－－在x∈(0，＋∞)上恒成立．………………………8分 令h(x)＝－－， 则＝- +＝-.         ……………………10分 , 得 ，    .      .    ……………………………12分 20. ．(本小题满分12分) 若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴的一个端点与左右焦点、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ) 过点作直线与椭圆交于、两点，线段的中点为,求直线 的斜率的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ)设椭圆的方程为， 由 ··································································································· 2 分 ,所以椭圆的方程为 ……1 ····················· 4分 (Ⅱ) 、， 当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率；················· 5 分 当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为 ，……2 由12联立消去，并整理得：．············· 7分 设，则 ．····························· 9分 从而   ， ⑴当时， ； ⑵当时，， ． 且.   综上所述，直线的斜率的取值范围是.         12 分 略 21. （本小题满分14分）已知函数    （1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；    （2）讨论函数的单调性；    （3）当时，求证：对大于的任意正整数，都有。 参考答案： 解：（1）∵      ∴            ．．．．．．1     ∵  函数在上为增函数  ∴  对恒成立       对恒成立，即对恒成立∴    4分    （2），        当时，对恒成立，的增区间为 ．．．．．．5          当时，，         的增区间为，减区间为（）．．．．．．6  22. 已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan（n∈N*） （1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 参考答案： 【考点】数学归纳法；数列的求和． 【分析】（1）由Sn与an的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4； （2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明． 【解答】解：（1）计算得；；；． （2）猜测：．下面用数学归纳法证明 ①当n=1时，猜想显然成立． ②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立， 即． 那么，当n=k+1时，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1， 即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1． 又， 所以， 从而． 即n=k+1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．