广东省东莞市大汾中学高三数学文下学期期末试题含解析

广东省东莞市大汾中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列对任意的满足，且，那么等于（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： 【标准答案】: C 【试题分析】: 由已知＝+，＝+,=+ 【高考考点】: 数列 【易错提醒】: 特殊性的运用 【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。 2. 已知函数 则函数的零点个数为 A．          B．         C．          D． 参考答案： C 略 3. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 参考答案： C 【考点】B4：系统抽样方法；B2：简单随机抽样． 【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码． 【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本， ∴系统抽样的分段间隔为=25， 设第一部分随机抽取一个号码为x， 则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18． 故选C． 4. 设等比数列中，前n项和为,已知，则    A.           B.          C.        D. 参考答案： A 因为，在等比数列中也成等比，即成等比，所以有，即，选A. 5. 已知点M(3，-2)，N(-5，-1)，且，则点P的坐标为（ ） A. (1，.）   B.(8,-1)   C. ( -8,1)   D. ( -1，-) 参考答案： D 6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新的三角形的形状为(    ) A．锐角三角形  B．直角三角形   C．钝角三角形    D．由增加的长度决定 参考答案： A 7. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CC1所成角的大小为（　　） A．60° B．30° C．90° D．45° 参考答案： D 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】将CC1平移到B1B，从而∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，在三角形A1BB1中求出此角即可． 【解答】解：∵CC1∥B1B， ∴∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角， 因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 所以∠A1BB1=45°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 8. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为(    ) A．600    B．400    C．300     D．200 参考答案： D 9. 数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为 A．(102006＋82006)     B．(102006－82006)      C．102006＋82006     D．102006－82006 参考答案： B 解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C20061   92005＋C20063   92003＋…＋C200620059．又由于       (9＋1)2006＝k＝0ΣC2006k   92006－k以及(9－1)2006＝k＝0ΣC2006k   (－1)k92006－k 从而得 A＝C20061   92005＋C20063   92003＋…＋C200620059＝(102006－82006)． 10. 定义域是一切实数的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得 对任意实数都成立，则称是一个“—半随函数”.有下列关于“—半随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—半随函数”；② “—半随函数”至少有一个零点；③是一个“—半随函数”；其中正确结论的个数是（   ） A．1个                   B．2个                      C．3个                      D．0个 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{bn}满足，，则数列的前7项和S7=　　． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】先求出数列{bn}的通项公式，再根据错位相减法求和即可． 【解答】解：当n=1时， =1，即b1=2， ∵，①， 当n≥2时， ++…+=n﹣1，②， 由①﹣②可得=1， ∴bn=2n， 当n=1时，成立， ∴bn=2n， =2n． ∴an﹣1=n ∴an=n+1， ∴=， 设数列的前n项和Sn， ∴Sn=2×（）1+3×（）2+…+n×（）n﹣1+（n+1）×（）n，① Sn=2×（）2+3×（）3+…+n×（）n+（n+1）×（）n+1，② 由①﹣②可得 Sn=+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）×（）n+1 =+﹣（n+1）×（）n+1=+1﹣（）n﹣（n+1）×（）n+1 =﹣×（）n， ∴Sn=3﹣， ∴S7=3﹣=， 故答案为： 12. 有四个关于三角函数的命题： p1：?x∈R，；p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y； p3：?x∈[0，π], ＝sin x；p4：sin x＝cos y?x＋y＝.其中假命题的是________． 参考答案： 13. 若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是       。 参考答案： 14. 从，，，这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是的倍数的概 率是          ． 参考答案： 15. 定义平面点集R2={x,y)|x∈R,y∈R丨，对于集合，若对，使得{P∈R2||PP0|0}是开集； ③开集在全集R2上的补集仍然是开集； ④两个开集的并集是开集. 其中你认为正确的所有命题的序号是______ 参考答案： 略 16. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是       . 参考答案： 17. 已知一个长方体的长、宽、高分别是5，4，3，则该长方体的外接球的表面积等于＿＿ 参考答案： 外接球直径等于长方体的对角线，即，故 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=24﹣4sinωt﹣4，且早上8时的温度为24°C，． （1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？ （2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28°C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？ 参考答案： 考点：函数模型的选择与应用． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式． （2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果． 解答： （本小题满分12分） 解：（1）依题意… 因为早上8时的温度为24°C，即f（8）=24， … ∵，故取k=1，， 所求函数解析式为．… 由，，可知， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32°C．… （2）依题意：令，可得… ∵，∴或， 即t=10或t=18，… 故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭… 点评：本题考查三角函数的化简求值，解析式的求法，考查计算能力． 19. 已知动圆P与圆相切，且与圆都内切，记圆心P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值． 参考答案： 【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）确定|PE|+|PF|=6＞2，可得P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=3，c=，b=，即可求C的方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n2=，由三角形面积公式，结合换元、配方法即可求得△AOB面积的最大值． 【解答】解：（1）设动圆P的半径为r，由已知|PE|=5﹣r，|PF|=r﹣1， 则有|PE|+|PF|=4＞2， ∴P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=2，c=，b=1 ∴曲线C的方程为=1； （2）设直线l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程，整理得：（4+m2）y2+2mny+n2﹣4=0① y1+y2=﹣，y1?y2=，x1+x2=， 由中点坐标公式可知：M（，﹣） ∵|OM|=1， ∴n2=②，…（8分） 设直线l与x轴的交点为D（n，0）， 则△AOB面积S2=n2（y1﹣y2）2= 设t=m2+16（t≥16）， 则S2=48（），当t=24时，即m=0时， △AOB的面积取得最大值1…（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题． 20. （本小题满分1４分）已知在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 （1）求实数k的取值范围； （2）求角B的取值范围； （3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）恒成立 （2）（3） 略 21. 已知函数（其中的最小正周期为. （Ⅰ）求的值,并求函数的单调递减区间； （Ⅱ）在锐角中,分别是角的对边,若 的面积为,求的外接圆面积. 参考答案： 的外接圆半径等于    则的外接圆面积等于                    ………（12分） 22. （12分）（2013?福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R） （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．  【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程； （2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值． 【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），． （1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，， 因而f（1）=1，f′（1）=﹣1， 所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）， 即x+y﹣2=0 （2）由，x＞0知： ①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值； ②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a． 又当x∈