2021-2022学年安徽省合肥市庐江乐桥中学高一数学文模拟试卷含解析

2021-2022学年安徽省合肥市庐江乐桥中学高一数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数与在区间上都是减函数，则的取值范 围是                                                                  （    ） A.            B.           C.       D. 参考答案： A 2. （5分）（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x| 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数． 【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A； 对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确； 对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C； 对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D． 故选B． 【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题． 3. 等差数列中，已知前15项的和，则等于（     ） A． B．12 C．    D．6 参考答案： D 略 4. （5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣ 参考答案： C 考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 由角的关系式：α+β=（+α）﹣（﹣β）即两角和的余弦公式即可展开代入从而求值． 解答： 解：∵cos（+α）=，0＜α＜， ∴＜+α＜， ∴sin（+α）==， ∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0， ∴＜﹣β＜， ∴sin（﹣β）==， ∵α+β=（+α）﹣（﹣β）， ∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）] =cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β） = = =． 故选：C． 点评： 本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基础题． 5. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　） A．f（sinα）＞f（sinβ） B．f（cosα）＞f（cosβ） C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ） 参考答案： C 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】由条件f（x+1）=得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[﹣3，﹣2]上是减函数，得到f（x）在[2，3]上是增函数，在[0，1]上是增函数，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得到α＞90°﹣β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而得到f（sinα）＞f（cosβ）． 【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数． ∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数， ∴在[2，3]上是增函数，∴在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角． ∴α+β＞90°，α＞90°﹣β，两边同取正弦得：sinα＞sin（90°﹣β）=cosβ， 且sinα、cosβ都在区间[0，1]上， ∴f（sinα）＞f（cosβ）， 故选：C． 【点评】本题综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性． 6. 若无穷等比数列{ a n }的公比q = –，则=（    ） （A）- 1         （B）1        （C）–         （D） 参考答案： A 7. 在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（　　） A. 15 B. 16 C. 17 D. 14 参考答案： C 【分析】 由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列的前项和有最大值， ∴等差数列为递减数列， 又， ∴，， ∴， 又，， ∴成立的正整数的最大值是17， 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题． 8. =（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案． 【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣ 故选D． 9. 函数y＝x2的图像与函数y＝|lg x|的图象的交点个数为(　　) A．0  B．1                  C．2  D．3 参考答案： B 10. 定义在R上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的有，则当时，有(     ) A．       B．   C．    D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果定义在的函数是偶函数，则         . 参考答案： 5 如果定义在上的函数是偶函数，而具有奇偶性的函数的定义域必然关于原点对称， 故有，解得又函数是偶函数，则由 可得 故.   12. 已知函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=_________ 参考答案： 2 13. 在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为_______。 参考答案：   2 14. 已知集合A={a，b，c}，则集合A的真子集的个数是　   　． 参考答案： 7 【考点】子集与真子集． 【分析】由集合A中的元素有3个，把n=3代入集合的真子集的公式2n﹣1中，即可计算出集合A真子集的个数． 【解答】解：由集合A中的元素有a，b，c共3个，代入公式得：23﹣1=7， 则集合A的真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，?共7个． 故答案为：7 15. 满足tan（x+）≥﹣的x的集合是　　． 参考答案： [kπ， +kπ），k∈Z 【考点】正切函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】有正切函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】解：由tan（x+）≥﹣得+kπ≤x+＜+kπ， 解得kπ≤x＜+kπ， 故不等式的解集为[kπ， +kπ），k∈Z， 故答案为：[kπ， +kπ），k∈Z， 【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键． 16. 观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图中有            个小正方形． （1）  （2）  （3）    （4）    （5） 参考答案： 17. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题： ①若垂直于内的两条相交直线，则⊥； ②若∥，则平行于内的所有直线； ③若，且⊥，则⊥； ④若，，则⊥； ⑤若，且∥，则∥． 其中正确命题的序号是          ．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： ①④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 在数列{an}中，. （1）若数列{an}满足，求an； （2）若，且数列是等差数列.求数列的前n项和Tn. 参考答案： 解：（1）∵， ，∴，且，即数列是公比为 的等比数列.∴. （2）设，则数列是等差数列，∵， ，∴， ，∴数列的公差为 ， ，∵，∴，∴，即数列是首项为 ，公差为的等差数列，∴.   19. 设函数,且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为, (Ⅰ)求的值 (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值 参考答案： （II）由（I）知． 当时，所以 因此． 故在区间上的最大值和最小值分别为．   略 20. 已知函数． （Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数； （Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值． 参考答案： 【考点】二分法求方程的近似解；函数单调性的判断与证明． 【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）根据单调性的定义即可证明； （Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x﹣1，判断出函数g（x）是R上的增函数，求出函数的零点区间，即可求出k的值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵x∈R，设x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=， ∵x1＜x2，且a＞1， ∴． 又， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）为增函数． （Ⅱ）解：令g（x）=f（x）+2x﹣1， 当a=2时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是R上的增函数， ∴函数g（x）是R上的增函数且连续， 又g（0）=f（0）﹣1=﹣1＜0，g（1）=＞0， 所以，函数g（x）的零点在区间（0，1）内， 即方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（0，1）内， ∴k=0． 【点评】本题考查了函数的单调性的判断，以及函数零点存在定理得应用，属于中档题． 21. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； 参考答案： (1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0， 即a<0，由a2≥1知a≤－1， 因此，a的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f(x)的最小值为g(a)，则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| 22. （本题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分a，b，c．且，． （1）若，求的值； （2）若△ABC的面积，求b，c的值． 参考答案： （1）由，得，根据正弦定理：得； （2）由，得，； 由余弦定理得，.