2021年上海保德中学高二数学理联考试题含解析

2021年上海保德中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则    B．若则 C．若，则    D．若则 参考答案： C 2. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P（1，3），离心率为的双曲线的标准方程为（　　） A． =1 B． =1 C． =1 D． =1 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），把点P的坐标代入即可得出． 【解答】解：∵，∴a=b， ∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），又点P（1，3） 在双曲线上，则λ=1﹣9=﹣8， ∴所求双曲线的标准方程为． 故选D． 3. 在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（　　） A．160 B．240 C．360 D．800 参考答案： B 【考点】二项式定理的应用． 【分析】利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成． 【解答】解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2 ∴展开式中x的系数为C51?3?24=240 故选项为B 4. 若平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，则点A到平面 α的距离为（　　） A．1 B．2 C． D． 参考答案： D 【考点】平面的法向量． 【分析】点A到平面α的距离为d=，由此能求出结果． 【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（0，2，2）， A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α， ∴=（1，1，﹣2）， ∴点A到平面α的距离为d===． 故选：D． 【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． 5. 抛物线y2=4x的准线方程为（　　） A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且， ∴抛物线的准线方程是x=﹣1． 故选D． 【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题． 6. 方程mx2-my2=n中，若mn<0,则方程的曲线是(    ) A．焦点在x轴上的椭圆      B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆      D．焦点在y轴上的双曲线 参考答案： D 略 7. 命题P：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（    ） A．命题P         B．命题       C．命题       D．命题 参考答案： B 命题P错误，椭圆的定义中，常数必须大于两个定点的距离； 命题Q错误，双曲线的定义中，常数必须小于两个定点的距离； ∴命题为真命题， 故选：B   8. 已知对任意实数，有，且时，则时（  ） A．                 B． C．                 D． 参考答案： B 9. 已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=2a52，a2=1，则a1=(     ) A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3?a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值． 【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2， 即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数， 所以q=，故a1=． 故选B． 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 10. 若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，则K的值是（　　） A．±24 B．±6 C．24 D．6 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的焦距，求解K即可． 【解答】解：双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6， 可得=3，解得k=±6． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 李明同学衣服上有左、右两个口袋，左口袋有15张不同的英语单词卡片，右口袋有20张不同的英语单词卡片，从这两个口袋任取一张，共有　_________　种不同的取法． 参考答案： 35 12. 若复数，则          ． 参考答案： 13 13. 已知等比数列的公比为正数，且，则=    *    . 参考答案： 略 14. 已知，则________________ 参考答案： 15. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为　　　　　　m． 参考答案： 考点： 抛物线的应用． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 如图所示，建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．利用当水面离拱顶2m时，水面宽4m．可得B（2，﹣2）．代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2）， 解得p．设D（x，﹣4），代入抛物线方程即可得出． 解答： 解：如图所示，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）． ∵当水面离拱顶2m时，水面宽4m． ∴B（2，﹣2）． 代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2）， 解得p=1． ∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y． 设D（x，﹣4），代入抛物线方程可得x2=﹣2×（﹣4）， 解得x=． ∴|CD|=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题． 16. 用反证法证明结论“实数a，b，c至少有两个大于1．”需要假设“实数a，b，c至多有　　”． 参考答案： 一个大于1 根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求． 解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立， 而命题：“实数a，b，c至少有两个大于1”的否定是：“a，b，c至多有一个大于1”， 故答案为：一个大于1 17. P是椭圆上一定点,是椭圆的两个焦点,若,则椭圆的离心率为    ______ . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 椭圆的焦距为，直线过点和 若,求此椭圆的准线方程; (2) 若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，求椭圆的离心率 的取值范围． 参考答案： 解：(1),所以椭圆的准线方程为. (2)直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式，且，得点到的距离． 同理得点到的距离． ． ，的取值范围是． 略 19. （本小题9分）已知直线和点，点为第一象限内的点且在直线上，直线交轴正半轴于点， （1）当时，求所在直线的直线方程； （2）求△面积的最小值，并求当△面积取最小值时的的坐标. 参考答案： （1） （2）， ， 。 20. 已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11． （1）求函数f（x）的解析表达式； （2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】3W：二次函数的性质． 【分析】（1）f（1）=5可得c=3﹣a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式； （2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，gmin（x）=g（1）=4﹣2m≥0，解得m的取值范围． （2）法二：不等式f（x）﹣2mx≥1恒成立等价于2m﹣2≤x+在[1，2]上恒成立．只需求出（x+）min． 【解答】解：（1）∵f（1）=5 ∴5=a+c+2，即c=3﹣a， 又∵6＜f（2）＜11 ∴6＜4a+c+4＜11， ∴∴， 又∵a∈N*， ∴a=1，c=2． 所以f（x）=x2+2x+2． （2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得： 当m﹣1≤1即m≤2时，gmin（x）=g（1）=4﹣2m≥0，此时m≤2； 当1＜m﹣1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解； 当m﹣1≥2即m≥3时，gmin（x）=g（2）=9﹣4m≥0，此时无解． 综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]． 法二：由已知得，在x∈[1，2]上恒成立． 由于在[1，2]上单调递增， 所以， 故2（m﹣1）≤2， 即m≤2． 21. 如图，直三棱柱中，D,E分别是的中点，, （1）证明：. （2）求二面角的正弦值.   参考答案： 略 22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.设M点极坐标为，且，，. （Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）①求M点的直角坐标； ②若直线l与曲线C交于A，B两点，求. 参考答案： （Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①② 【分析】 （Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答. 【详解】解（Ⅰ）， 曲线. （Ⅱ）①，，. ②将代入，得， ，， 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.